Номер 4, страница 144 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 4, страница 144.

4. Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?

Геометрическим местом точек (ГМТ), принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон, является биссектриса этого угла.

Докажем это утверждение в два этапа.

Пусть нам дан угол $ \angle AOB $ с вершиной в точке $ O $. Мы ищем множество всех точек $ M $, которые принадлежат углу (находятся внутри или на его сторонах) и для которых расстояние до стороны $ OA $ равно расстоянию до стороны $ OB $.

1. Доказательство того, что любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.

Пусть луч $ OK $ — биссектриса угла $ \angle AOB $. Возьмем на этом луче произвольную точку $ M $. Расстояние от точки до прямой (стороны угла) — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точки $ M $ перпендикуляры $ MC $ на сторону $ OA $ и $ MD $ на сторону $ OB $.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle OCM $ и $ \triangle ODM $. Гипотенуза $ OM $ у них общая. Углы $ \angle COM $ и $ \angle DOM $ равны, так как $ OK $ — биссектриса. Следовательно, треугольники $ \triangle OCM $ и $ \triangle ODM $ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $ MC = MD $. Это означает, что точка $ M $ равноудалена от сторон угла.

2. Доказательство того, что любая точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе.

Пусть точка $ M $ находится внутри угла $ \angle AOB $ и равноудалена от его сторон. Опустим из точки $ M $ перпендикуляры $ MC $ на сторону $ OA $ и $ MD $ на сторону $ OB $. По условию, их длины равны: $ MC = MD $.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle OCM $ и $ \triangle ODM $. Гипотенуза $ OM $ у них общая. Катеты $ MC $ и $ MD $ равны по условию. Следовательно, треугольники $ \triangle OCM $ и $ \triangle ODM $ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $ \angle COM = \angle DOM $. А это означает, что луч $ OM $ является биссектрисой угла $ \angle AOB $, и точка $ M $ лежит на ней.

Таким образом, мы доказали, что множество всех точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон, в точности совпадает с биссектрисой этого угла.

Ответ: Биссектриса этого угла.

4. Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?