Номер 3, страница 136 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 3, страница 136.

3. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$

Б) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \parallel c$

В) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \perp c$

Г) если $a \parallel b$ и $c \perp b$, то $c \perp a$

Для определения неверного утверждения проанализируем каждое из предложенных.

А) если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$

Это свойство транзитивности параллельности прямых. Оно является одной из основных аксиом или теорем геометрии (как планиметрии, так и стереометрии). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Данное утверждение всегда верно.

В) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \perp c$

Это утверждение не всегда является верным. Рассмотрим контрпример в трехмерном пространстве. Пусть у нас есть декартова система координат $Oxyz$.

• Пусть прямая $b$ совпадает с осью $Oz$.
• Пусть прямая $a$ совпадает с осью $Ox$. Тогда $a \perp b$, так как оси координат взаимно перпендикулярны.
• Пусть прямая $c$ параллельна прямой $a$ (и, соответственно, оси $Ox$). Тогда прямая $c$ также перпендикулярна оси $Oz$, то есть $b \perp c$.

В этом случае условия $a \perp b$ и $b \perp c$ выполнены, но прямые $a$ и $c$ параллельны ($a \parallel c$), а не перпендикулярны. Следовательно, утверждение, что из $a \perp b$ и $b \perp c$ всегда следует $a \perp c$, является неверным.

На плоскости, если $a \perp b$ и $b \perp c$, то из этого следует, что $a \parallel c$, что также опровергает данное утверждение.

Б) если $a \perp b$ и $b \parallel c$, то $a \perp c$

Это утверждение является верным. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Поскольку прямые $b$ и $c$ параллельны, они имеют одинаковое направление. Если прямая $a$ образует с прямой $b$ угол $90^\circ$, то она будет образовывать угол $90^\circ$ и с прямой $c$. Таким образом, $a \perp c$.

Г) если $a \parallel b$ и $c \perp b$, то $c \perp a$

Это утверждение также является верным и, по сути, является переформулировкой утверждения Б. Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то любая прямая $c$, перпендикулярная прямой $b$, будет перпендикулярна и прямой $a$. Угол между прямыми $c$ и $a$ будет таким же, как и угол между прямыми $c$ и $b$, то есть $90^\circ$.

Таким образом, единственное неверное утверждение — это В.

Ответ: В

3. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$

В) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \perp c$

Б) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \parallel c$

Г) если $a \parallel b$ и $c \perp b$, то $c \perp a$