Номер 534, страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 534, страница 134.

534. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $ACB$ и пересекающие прямые $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AC > BC$, $CM = 6$ см, $BK = 2$ см, $AB = 7$ см.

Обозначим биссектрису угла $ACB$ как $CL$. По условию, через вершину $A$ проведена прямая, перпендикулярная $CL$ и пересекающая прямую $BC$ в точке $M$. Пусть точка пересечения этой прямой с биссектрисой $CL$ будет $P$.

Рассмотрим треугольник $ACM$. Прямая $CP$ (которая является частью биссектрисы $CL$) является высотой к стороне $AM$, так как $AM \perp CL$. Также, $CP$ является биссектрисой угла $ACM$, поскольку точка $M$ лежит на прямой $BC$, и угол $ACM$ совпадает с углом $ACB$.В треугольнике $ACM$ биссектриса $CP$ совпадает с высотой, следовательно, треугольник $ACM$ является равнобедренным с основанием $AM$. Отсюда следует, что $AC = CM$.По условию, $CM = 6$ см, значит, $AC = 6$ см.

Аналогично, через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная $CL$ и пересекающая прямую $AC$ в точке $K$. Пусть точка пересечения этой прямой с биссектрисой $CL$ будет $Q$.Рассмотрим треугольник $BCK$. Прямая $CQ$ (часть биссектрисы $CL$) является высотой к стороне $BK$. Также, $CQ$ является биссектрисой угла $BCK$ (угла $ACB$). Следовательно, треугольник $BCK$ является равнобедренным с основанием $BK$, и $BC = CK$.

Таким образом, мы установили длины и соотношения сторон:

• $AC = 6$ см
• $BC = CK$
• $AB = 7$ см
• $BK = 2$ см

Также в условии дано неравенство $AC > BC$, что означает $6 > BC$.

Применим теорему косинусов к треугольникам $ABC$ и $BCK$. Обозначим $BC = x$ и $\angle ACB = \gamma$.

Для треугольника $ABC$:$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos\gamma$$7^2 = 6^2 + x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x \cdot \cos\gamma$$49 = 36 + x^2 - 12x \cos\gamma$$13 = x^2 - 12x \cos\gamma$ (1)

Для треугольника $BCK$:Поскольку $BC=CK=x$, то$BK^2 = BC^2 + CK^2 - 2 \cdot BC \cdot CK \cdot \cos\gamma$$2^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos\gamma$$4 = 2x^2 - 2x^2 \cos\gamma$$2 = x^2(1 - \cos\gamma)$ (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2) для нахождения $x = BC$.Из уравнения (2) выразим $\cos\gamma$:$\cos\gamma = 1 - \frac{2}{x^2}$

Подставим это выражение в уравнение (1):$13 = x^2 - 12x \left(1 - \frac{2}{x^2}\right)$$13 = x^2 - 12x + \frac{24x}{x^2}$$13 = x^2 - 12x + \frac{24}{x}$

Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x=BC$ - длина стороны, $x \neq 0$):$13x = x^3 - 12x^2 + 24$$x^3 - 12x^2 - 13x + 24 = 0$

Это кубическое уравнение. Найдем его корни. По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями числа 24. Проверим $x=1$:$1^3 - 12(1)^2 - 13(1) + 24 = 1 - 12 - 13 + 24 = 0$.Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x-1)$:$(x^3 - 12x^2 - 13x + 24) \div (x-1) = x^2 - 11x - 24$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:$(x-1)(x^2 - 11x - 24) = 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 11x - 24 = 0$:$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 96}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{217}}{2}$.

Получаем три возможных значения для $x = BC$:1. $x_1 = 1$2. $x_2 = \frac{11 + \sqrt{217}}{2}$3. $x_3 = \frac{11 - \sqrt{217}}{2}$ (этот корень отрицательный, так как $\sqrt{217} > \sqrt{121}=11$, и он не может быть длиной стороны).

Рассмотрим два оставшихся варианта:

• Если $BC = x_1 = 1$ см. Проверим условие $AC > BC$: $6 > 1$. Условие выполняется. Однако, найдем значение $\cos\gamma$ для этого случая: $\cos\gamma = 1 - \frac{2}{1^2} = -1$. Это означает, что угол $\gamma = 180^\circ$, что невозможно для треугольника, так как все его вершины лежали бы на одной прямой.
• Если $BC = x_2 = \frac{11 + \sqrt{217}}{2}$ см. Оценим значение: $\sqrt{217}$ находится между $\sqrt{196}=14$ и $\sqrt{225}=15$. Приближенно $BC \approx \frac{11 + 14.7}{2} \approx 12.85$ см. Проверим условие $AC > BC$: $6 > 12.85$. Это неравенство ложно.

Оба математически возможных положительных корня для длины стороны $BC$ приводят либо к вырожденному треугольнику, либо к противоречию с условием задачи $AC > BC$. Следовательно, треугольника, удовлетворяющего всем заданным условиям, не существует.

Ответ: Треугольника с заданными свойствами не существует.

534. Через точку $C$ проведены касательные $AC$ и $BC$ к окружности, $A$ и $B$ – точки касания (рис. 297). На окружности взяли произвольную точку $M$, лежащую в одной полуплоскости с точкой $C$ относительно прямой $AB$, и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $DEC$ не зависит от выбора точки $M$.

Рис. 297