Страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

532. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, отрезок AD — биссектриса, отрезок CD на 3 см меньше отрезка BD. Найдите биссектрису AD.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $∠C = 90°$ и угол $∠BAC = 60°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, следовательно, мы можем найти угол $∠ABC$:
$∠ABC = 180° - ∠C - ∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°$.

Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $∠BAC$. Это означает, что он делит угол $∠BAC$ на два равных угла: $∠CAD = ∠DAB = \frac{∠BAC}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем, что $∠ABD = 30°$ и $∠DAB = 30°$. Так как два угла в этом треугольнике равны, треугольник $ABD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AD = BD$.

Далее рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным, так как $∠C = 90°$. В этом треугольнике нам известен угол $∠CAD = 30°$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Катет $CD$ лежит напротив угла $∠CAD$, а гипотенузой является отрезок $AD$. Таким образом, мы можем записать соотношение: $CD = \frac{1}{2} AD$, что эквивалентно $AD = 2 \cdot CD$.

Теперь у нас есть система из трех соотношений:
1. $CD = BD - 3$ (из условия задачи)
2. $AD = BD$ (из свойств равнобедренного треугольника $ABD$)
3. $AD = 2 \cdot CD$ (из свойств прямоугольного треугольника $ACD$)

Используя второе равенство ($AD = BD$), подставим $AD$ вместо $BD$ в первое равенство: $CD = AD - 3$.

Теперь у нас есть два уравнения, связывающие $AD$ и $CD$:
$AD = 2 \cdot CD$
$CD = AD - 3$

Подставим второе уравнение в первое: $AD = 2 \cdot (AD - 3)$
$AD = 2 \cdot AD - 6$
$2 \cdot AD - AD = 6$
$AD = 6$ см.

Ответ: 6 см.

532. Прямые, касающиеся окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $K$, $\angle AKB = 120^\circ$. Докажите, что $AK + BK = OK$.

533. На рисунке 311 $AB = BC, AM = KC, \angle AKE = \angle FMC$. Докажите, что треугольник $FBE$ равнобедренный.

Рис. 311

Доказательство

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию $AB = BC$, следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle AEK$ и $\triangle CFM$. Для доказательства их равенства сравним их элементы:
а) $\angle EAK = \angle FCM$ (как углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$).
б) Рассмотрим отрезки $AK$ и $CM$. Они состоят из частей: $AK = AM + MK$ и $CM = CK + MK$. По условию $AM = KC$, следовательно $AK = KC + MK = CM$.
в) $\angle AKE = \angle FMC$ (по условию).

Таким образом, $\triangle AEK \cong \triangle CFM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AE = CF$.

4. По условию задачи $AB = BC$. Точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Найдем длины отрезков $EB$ и $FB$:
$EB = AB - AE$
$FB = BC - CF$
Поскольку $AB = BC$ и $AE = CF$, то правые части этих равенств равны, а значит равны и левые: $EB = FB$.

5. В треугольнике $FBE$ две стороны ($EB$ и $FB$) равны. По определению, такой треугольник является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $FBE$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

533. Окружность касается стороны $AB$ треугольника $ABC$ в точке $M$ и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков $BC$ и $BM$ равна половине периметра треугольника $ABC$.

534. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $ACB$ и пересекающие прямые $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AC > BC$, $CM = 6$ см, $BK = 2$ см, $AB = 7$ см.

Обозначим биссектрису угла $ACB$ как $CL$. По условию, через вершину $A$ проведена прямая, перпендикулярная $CL$ и пересекающая прямую $BC$ в точке $M$. Пусть точка пересечения этой прямой с биссектрисой $CL$ будет $P$.

Рассмотрим треугольник $ACM$. Прямая $CP$ (которая является частью биссектрисы $CL$) является высотой к стороне $AM$, так как $AM \perp CL$. Также, $CP$ является биссектрисой угла $ACM$, поскольку точка $M$ лежит на прямой $BC$, и угол $ACM$ совпадает с углом $ACB$.В треугольнике $ACM$ биссектриса $CP$ совпадает с высотой, следовательно, треугольник $ACM$ является равнобедренным с основанием $AM$. Отсюда следует, что $AC = CM$.По условию, $CM = 6$ см, значит, $AC = 6$ см.

Аналогично, через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная $CL$ и пересекающая прямую $AC$ в точке $K$. Пусть точка пересечения этой прямой с биссектрисой $CL$ будет $Q$.Рассмотрим треугольник $BCK$. Прямая $CQ$ (часть биссектрисы $CL$) является высотой к стороне $BK$. Также, $CQ$ является биссектрисой угла $BCK$ (угла $ACB$). Следовательно, треугольник $BCK$ является равнобедренным с основанием $BK$, и $BC = CK$.

Таким образом, мы установили длины и соотношения сторон:

• $AC = 6$ см
• $BC = CK$
• $AB = 7$ см
• $BK = 2$ см

Также в условии дано неравенство $AC > BC$, что означает $6 > BC$.

Применим теорему косинусов к треугольникам $ABC$ и $BCK$. Обозначим $BC = x$ и $\angle ACB = \gamma$.

Для треугольника $ABC$:$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos\gamma$$7^2 = 6^2 + x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x \cdot \cos\gamma$$49 = 36 + x^2 - 12x \cos\gamma$$13 = x^2 - 12x \cos\gamma$ (1)

Для треугольника $BCK$:Поскольку $BC=CK=x$, то$BK^2 = BC^2 + CK^2 - 2 \cdot BC \cdot CK \cdot \cos\gamma$$2^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos\gamma$$4 = 2x^2 - 2x^2 \cos\gamma$$2 = x^2(1 - \cos\gamma)$ (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2) для нахождения $x = BC$.Из уравнения (2) выразим $\cos\gamma$:$\cos\gamma = 1 - \frac{2}{x^2}$

Подставим это выражение в уравнение (1):$13 = x^2 - 12x \left(1 - \frac{2}{x^2}\right)$$13 = x^2 - 12x + \frac{24x}{x^2}$$13 = x^2 - 12x + \frac{24}{x}$

Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x=BC$ - длина стороны, $x \neq 0$):$13x = x^3 - 12x^2 + 24$$x^3 - 12x^2 - 13x + 24 = 0$

Это кубическое уравнение. Найдем его корни. По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями числа 24. Проверим $x=1$:$1^3 - 12(1)^2 - 13(1) + 24 = 1 - 12 - 13 + 24 = 0$.Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x-1)$:$(x^3 - 12x^2 - 13x + 24) \div (x-1) = x^2 - 11x - 24$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:$(x-1)(x^2 - 11x - 24) = 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 11x - 24 = 0$:$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 96}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{217}}{2}$.

Получаем три возможных значения для $x = BC$:1. $x_1 = 1$2. $x_2 = \frac{11 + \sqrt{217}}{2}$3. $x_3 = \frac{11 - \sqrt{217}}{2}$ (этот корень отрицательный, так как $\sqrt{217} > \sqrt{121}=11$, и он не может быть длиной стороны).

Рассмотрим два оставшихся варианта:

• Если $BC = x_1 = 1$ см. Проверим условие $AC > BC$: $6 > 1$. Условие выполняется. Однако, найдем значение $\cos\gamma$ для этого случая: $\cos\gamma = 1 - \frac{2}{1^2} = -1$. Это означает, что угол $\gamma = 180^\circ$, что невозможно для треугольника, так как все его вершины лежали бы на одной прямой.
• Если $BC = x_2 = \frac{11 + \sqrt{217}}{2}$ см. Оценим значение: $\sqrt{217}$ находится между $\sqrt{196}=14$ и $\sqrt{225}=15$. Приближенно $BC \approx \frac{11 + 14.7}{2} \approx 12.85$ см. Проверим условие $AC > BC$: $6 > 12.85$. Это неравенство ложно.

Оба математически возможных положительных корня для длины стороны $BC$ приводят либо к вырожденному треугольнику, либо к противоречию с условием задачи $AC > BC$. Следовательно, треугольника, удовлетворяющего всем заданным условиям, не существует.

Ответ: Треугольника с заданными свойствами не существует.

534. Через точку $C$ проведены касательные $AC$ и $BC$ к окружности, $A$ и $B$ – точки касания (рис. 297). На окружности взяли произвольную точку $M$, лежащую в одной полуплоскости с точкой $C$ относительно прямой $AB$, и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $DEC$ не зависит от выбора точки $M$.

Рис. 297

535. На рисунке 312 $BC \parallel AD$, луч $CA$ – биссектриса угла $BCD$, $AD = 9$ см, $AC = 8$ см. Найдите периметр треугольника $CAD$.

Рис. 312

Периметр треугольника $CAD$ равен сумме длин его сторон: $P_{CAD} = CA + AD + CD$.

Из условия задачи нам известны длины двух сторон: $AC = 8$ см и $AD = 9$ см. Необходимо найти длину стороны $CD$.

Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими углами, следовательно, они равны:

$\angle BCA = \angle CAD$.

По условию, луч $CA$ является биссектрисой угла $BCD$. Это означает, что он делит угол на две равные части:

$\angle BCA = \angle ACD$.

Из этих двух равенств следует, что:

$\angle CAD = \angle ACD$.

Рассмотрим треугольник $CAD$. Так как два его угла ($\angle CAD$ и $\angle ACD$) равны, то треугольник $CAD$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $CD = AD$.

Поскольку $AD = 9$ см, то и $CD = 9$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $CAD$:

$P_{CAD} = AC + AD + CD = 8 + 9 + 9 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

535. Докажите, что середина $M$ отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку $M$ и концы которого принадлежат этим прямым.

536. Разрежьте треугольник на четыре части так, чтобы, перевернув три из них, можно было сложить треугольник, равный данному.

Для решения этой задачи необходимо разрезать исходный треугольник на четыре меньших конгруэнтных треугольника. Это достигается с помощью проведения средних линий.

1. Разрезание треугольника

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Найдём середины его сторон: точку $F$ на стороне $AB$, точку $D$ на стороне $BC$ и точку $E$ на стороне $AC$. Соединим эти точки отрезками $FD$, $DE$ и $EF$. Эти отрезки являются средними линиями треугольника $ABC$. В результате треугольник $ABC$ разрезается на четыре части:

• Треугольник $AFE$ (верхний)
• Треугольник $FBD$ (левый нижний)
• Треугольник $EDC$ (правый нижний)
• Треугольник $FED$ (центральный)

Согласно теореме о средней линии, каждая средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Например, $FE || BC$ и $FE = \frac{1}{2}BC$. Из этого следует, что все четыре малых треугольника ($AFE$, $FBD$, $EDC$, $FED$) конгруэнтны (равны) друг другу по трём сторонам (признак SSS). Например, для $\triangle FBD$ и $\triangle FED$ стороны равны $(FB, BD, DF)$ и $(DE, EF, FD)$, а так как $FB=DE=\frac{1}{2}AB$, $BD=EF=\frac{1}{2}BC$ и $DF$ — общая, то треугольники конгруэнтны.

2. Преобразование и сборка

Обозначим три "угловых" треугольника как части 1, 2, 3, а центральный — как часть 4.

• Часть 1: $\triangle AFE$
• Часть 2: $\triangle FBD$
• Часть 3: $\triangle EDC$
• Часть 4: $\triangle FED$

Согласно условию, нужно перевернуть три части. Перевернём три угловые части: $\triangle AFE$, $\triangle FBD$ и $\triangle EDC$. Центральный треугольник $\triangle FED$ оставим без изменений. Теперь у нас есть новый набор из четырёх частей для сборки.

Все четыре части в новом наборе ($\triangle AFE'$, $\triangle FBD'$, $\triangle EDC'$ и $\triangle FED$) являются конгруэнтными треугольниками, так как операция переворачивания (осевая симметрия) сохраняет размеры и форму фигуры. Важно отметить, что три угловых треугольника изначально имели одну ориентацию, а центральный — противоположную. После переворачивания все четыре треугольника будут иметь одинаковую ориентацию.

Из четырёх конгруэнтных треугольников, подобных исходному, всегда можно сложить треугольник, который будет подобен им, а значит и исходному треугольнику. Поскольку площадь нового треугольника будет равна сумме площадей четырёх частей, то есть площади исходного треугольника, а их формы подобны, то новый треугольник будет не просто подобен, а конгруэнтен (равен) исходному.

Сборку можно произвести, расположив три треугольника "вершинами наружу" и поместив четвёртый в образовавшееся центральное пустое пространство. В результате получится треугольник, равный исходному $\triangle ABC$.

Ответ: Нужно соединить середины сторон данного треугольника. Это разрежет его на четыре равных треугольника. Затем, перевернув любые три из этих четырёх частей, можно будет снова сложить треугольник, равный исходному.

536. Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку $M$ выбрали так, что треугольник $\triangle AMB$ – равнобедренный с основанием $AB$. Докажите, что $\triangle CMD$ также является равнобедренным с основанием $CD$.