Страница 136 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое из следующих утверждений верно?

А) если два отрезка не имеют общих точек, то они параллельны

Б) если два луча не имеют общих точек, то они параллельны

В) если луч и отрезок не имеют общих точек, то они параллельны

Г) если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны

А) если два отрезка не имеют общих точек, то они параллельны

Данное утверждение неверно. Два отрезка могут лежать на пересекающихся прямых, но при этом не иметь общих точек. Например, один отрезок может лежать на оси $Ox$ с концами в точках $(1, 0)$ и $(2, 0)$, а другой — на оси $Oy$ с концами в точках $(0, 1)$ и $(0, 2)$. Эти отрезки не имеют общих точек, но оси $Ox$ и $Oy$ перпендикулярны, следовательно, отрезки не параллельны.

Ответ: неверно.

Б) если два луча не имеют общих точек, то они параллельны

Это утверждение неверно. Можно привести аналогичный контрпример. Два луча могут исходить из разных точек на пересекающихся прямых и быть направлены так, что они никогда не пересекутся. Например, луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и идущий в положительном направлении оси $Ox$, и луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий в положительном направлении оси $Oy$. У них нет общих точек, но они не параллельны.

Ответ: неверно.

В) если луч и отрезок не имеют общих точек, то они параллельны

Это утверждение также неверно по тем же причинам, что и предыдущие. Луч и отрезок могут лежать на пересекающихся прямых, но не иметь общих точек.

Ответ: неверно.

Г) если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны

Это утверждение верно. Оно является определением параллельных прямых в евклидовой геометрии на плоскости. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Если бы прямые не были параллельны, они бы обязательно пересеклись в одной точке.

Ответ: верно.

1. Какое из следующих утверждений верно?

А) если два отрезка не имеют общих точек, то они параллельны

Б) если два луча не имеют общих точек, то они параллельны

В) если луч и отрезок не имеют общих точек, то они параллельны

Г) если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны

2. Какое из следующих утверждений верно?

А) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один отрезок, параллельный этой прямой

Б) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один луч, параллельный этой прямой

В) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не параллельных этой прямой

Г) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходят только две прямые, параллельные этой прямой

А) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один отрезок, параллельный этой прямой. Данное утверждение неверно. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная ей. На этой прямой можно построить бесконечное множество отрезков, проходящих через данную точку и параллельных исходной прямой (например, отрезки разной длины с центром в этой точке).

Б) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один луч, параллельный этой прямой. Данное утверждение неверно. На единственной прямой, проходящей через данную точку параллельно исходной, можно построить два луча с началом в этой точке, направленных в противоположные стороны. Оба луча будут параллельны исходной прямой.

В) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не параллельных этой прямой. Данное утверждение верно. Через любую точку плоскости проходит бесконечное множество прямых. Согласно аксиоме параллельности Евклида (пятому постулату), только одна из этих прямых будет параллельна данной прямой. Все остальные прямые (которых бесконечное множество) будут пересекать данную прямую, а значит, не будут ей параллельны.

Г) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходят только две прямые, параллельные этой прямой. Данное утверждение неверно. Оно противоречит аксиоме параллельности, которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Ответ: В

2. Какое из следующих утверждений верно?

А) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один отрезок, параллельный этой прямой

Б) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один луч, параллельный этой прямой

В) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не параллельных этой прямой

Г) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходят только две прямые, параллельные этой прямой

3. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$

Б) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \parallel c$

В) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \perp c$

Г) если $a \parallel b$ и $c \perp b$, то $c \perp a$

Для определения неверного утверждения проанализируем каждое из предложенных.

А) если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$

Это свойство транзитивности параллельности прямых. Оно является одной из основных аксиом или теорем геометрии (как планиметрии, так и стереометрии). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Данное утверждение всегда верно.

В) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \perp c$

Это утверждение не всегда является верным. Рассмотрим контрпример в трехмерном пространстве. Пусть у нас есть декартова система координат $Oxyz$.

• Пусть прямая $b$ совпадает с осью $Oz$.
• Пусть прямая $a$ совпадает с осью $Ox$. Тогда $a \perp b$, так как оси координат взаимно перпендикулярны.
• Пусть прямая $c$ параллельна прямой $a$ (и, соответственно, оси $Ox$). Тогда прямая $c$ также перпендикулярна оси $Oz$, то есть $b \perp c$.

В этом случае условия $a \perp b$ и $b \perp c$ выполнены, но прямые $a$ и $c$ параллельны ($a \parallel c$), а не перпендикулярны. Следовательно, утверждение, что из $a \perp b$ и $b \perp c$ всегда следует $a \perp c$, является неверным.

На плоскости, если $a \perp b$ и $b \perp c$, то из этого следует, что $a \parallel c$, что также опровергает данное утверждение.

Б) если $a \perp b$ и $b \parallel c$, то $a \perp c$

Это утверждение является верным. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Поскольку прямые $b$ и $c$ параллельны, они имеют одинаковое направление. Если прямая $a$ образует с прямой $b$ угол $90^\circ$, то она будет образовывать угол $90^\circ$ и с прямой $c$. Таким образом, $a \perp c$.

Г) если $a \parallel b$ и $c \perp b$, то $c \perp a$

Это утверждение также является верным и, по сути, является переформулировкой утверждения Б. Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то любая прямая $c$, перпендикулярная прямой $b$, будет перпендикулярна и прямой $a$. Угол между прямыми $c$ и $a$ будет таким же, как и угол между прямыми $c$ и $b$, то есть $90^\circ$.

Таким образом, единственное неверное утверждение — это В.

Ответ: В

3. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$

В) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \perp c$

Б) если $a \perp b$ и $b \perp c$, то $a \parallel c$

Г) если $a \parallel b$ и $c \perp b$, то $c \perp a$

4. На каком из рисунков прямые $a$ и $b$ параллельны?

a

$a$, $b$, $c$, $120^\circ$, $60^\circ$

б

$a$, $b$, $c$, $75^\circ$, $109^\circ$

в

$a$, $b$, $c$, $135^\circ$, $55^\circ$

г

$a$, $b$, $c$, $137^\circ$, $33^\circ$

Для определения параллельности прямых a и b, пересеченных секущей c, необходимо проверить выполнение одного из признаков параллельности прямых. Проанализируем каждый рисунок.

а

На этом рисунке изображены внутренние односторонние углы. Один угол равен $120°$, а другой — $60°$. Согласно признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180°$, то прямые параллельны. Проверим это условие: $120° + 60° = 180°$. Так как сумма углов равна $180°$, прямые a и b параллельны.

Ответ: на этом рисунке прямые a и b параллельны.

б

Здесь даны внешний угол $75°$ и внутренний угол $109°$. Они находятся по разные стороны от секущей c. Найдем внутренний угол, смежный с внешним углом $75°$: $180° - 75° = 105°$. Этот угол и угол $109°$ являются внутренними накрест лежащими. Прямые были бы параллельны, если бы эти углы были равны. Однако, $105° \neq 109°$. Следовательно, прямые a и b не параллельны.

Ответ: на этом рисунке прямые a и b не параллельны.

в

На рисунке показаны два внутренних накрест лежащих угла, равные $135°$ и $55°$. Для того чтобы прямые были параллельны, внутренние накрест лежащие углы должны быть равны. В данном случае $135° \neq 55°$. Значит, прямые a и b не параллельны.

Ответ: на этом рисунке прямые a и b не параллельны.

г

На этом рисунке дан внутренний угол $137°$ и внешний угол $33°$. Найдем внутренний угол, который является накрест лежащим по отношению к углу $137°$. Этот угол вертикален внешнему углу $33°$, следовательно, он также равен $33°$. Теперь у нас есть пара внутренних накрест лежащих углов: $137°$ и $33°$. Прямые параллельны, если внутренние накрест лежащие углы равны. Так как $137° \neq 33°$, прямые a и b не параллельны.

Ответ: на этом рисунке прямые a и b не параллельны.

4. На каком из рисунков прямые $a$ и $b$ параллельны?

а
Прямые $a$ и $b$ пересечены прямой $c$. Показаны углы $120^\circ$ и $60^\circ$.

б
Прямые $a$ и $b$ пересечены прямой $c$. Показаны углы $75^\circ$ и $109^\circ$.

в
Прямые $a$ и $b$ пересечены прямой $c$. Показаны углы $135^\circ$ и $55^\circ$.

г
Прямые $a$ и $b$ пересечены прямой $c$. Показаны углы $137^\circ$ и $33^\circ$.

5. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если сумма углов одной пары накрест лежащих углов равна сумме углов другой пары, то прямые не параллельны

Б) если накрест лежащие углы не равны, то прямые не параллельны

В) если сумма односторонних углов не равна $180^\circ$, то прямые не параллельны

Г) если соответственные углы не равны, то прямые не параллельны

Для ответа на вопрос проанализируем каждое утверждение по отдельности.

А) если сумма углов одной пары накрест лежащих углов равна сумме углов другой пары, то прямые не параллельны

Рассмотрим две прямые, пересеченные секущей. При этом образуется две пары внутренних накрест лежащих углов. Обозначим углы одной пары как $\angle 1$ и $\angle 2$, а углы другой пары — $\angle 3$ и $\angle 4$. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются смежными при одной вершине пересечения, как и углы $\angle 2$ и $\angle 4$ при другой. Следовательно, их суммы равны $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$

$\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

Условие, данное в утверждении, можно записать как $\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$.

Из соотношений для смежных углов выразим $\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$ и $\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$. Подставим эти выражения в исходное условие:

$\angle 1 + \angle 2 = (180^\circ - \angle 1) + (180^\circ - \angle 2)$

$\angle 1 + \angle 2 = 360^\circ - \angle 1 - \angle 2$

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 1 + \angle 2 = 360^\circ$

$2(\angle 1 + \angle 2) = 360^\circ$

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Таким образом, условие «сумма углов одной пары накрест лежащих углов равна сумме углов другой пары» равносильно условию «сумма накрест лежащих углов (из одной пары) равна $180^\circ$».

Теперь проверим утверждение в этой эквивалентной форме: «если сумма накрест лежащих углов равна $180^\circ$, то прямые не параллельны».

Рассмотрим контрпример: две параллельные прямые, пересеченные перпендикулярной им секущей. В этом случае все образующиеся углы прямые ($90^\circ$). Накрест лежащие углы будут равны друг другу и равны $90^\circ$. Их сумма составит $\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

В этом случае условие выполнено, но прямые параллельны. Это противоречит выводу утверждения («прямые не параллельны»). Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: Утверждение неверно.

Б) если накрест лежащие углы не равны, то прямые не параллельны

Это утверждение является верным. Оно представляет собой контрапозицию к свойству параллельных прямых. Свойство параллельных прямых гласит: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны».

Пусть $P$ — это утверждение «прямые параллельны», а $Q$ — «накрест лежащие углы равны». Тогда свойство можно записать как $P \implies Q$.

Утверждение Б формулируется как «если углы не равны (не $Q$), то прямые не параллельны (не $P$)», то есть $\neg Q \implies \neg P$. В логике утверждение и его контрапозиция всегда имеют одинаковую истинность. Поскольку свойство параллельных прямых ($P \implies Q$) является истинным, то и утверждение Б истинно.

Ответ: Утверждение верно.

В) если сумма односторонних углов не равна 180°, то прямые не параллельны

Это утверждение также является верным. Оно является контрапозицией к свойству параллельных прямых, касающемуся односторонних углов: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$».

Пусть $P$ — «прямые параллельны», а $R$ — «сумма односторонних углов равна $180^\circ$». Свойство имеет вид $P \implies R$.

Утверждение В формулируется как «если сумма не равна $180^\circ$ (не $R$), то прямые не параллельны (не $P$)», то есть $\neg R \implies \neg P$. Это контрапозиция к истинному свойству, а значит, само утверждение тоже истинно.

Ответ: Утверждение верно.

Г) если соответственные углы не равны, то прямые не параллельны

Данное утверждение является верным по той же причине, что и предыдущие два. Это контрапозиция к свойству параллельных прямых о соответственных углах: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны».

Пусть $P$ — «прямые параллельны», а $S$ — «соответственные углы равны». Свойство имеет вид $P \implies S$.

Утверждение Г формулируется как «если углы не равны (не $S$), то прямые не параллельны (не $P$)», то есть $\neg S \implies \neg P$. Это логически эквивалентно истинному свойству и, следовательно, само является истинным.

Ответ: Утверждение верно.

5. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если сумма углов одной пары накрест лежащих углов равна сумме углов другой пары, то прямые не параллельны

Б) если накрест лежащие углы не равны, то прямые не параллельны

В) если сумма односторонних углов не равна $180^\circ$, то прямые не параллельны

Г) если соответственные углы не равны, то прямые не параллельны

6. Сколько внешних углов у треугольника?

А) 3 Б) 6 В) 4 Г) 9

Внешний угол многоугольника — это угол, смежный с его внутренним углом при данной вершине. Он образуется одной из сторон и продолжением другой стороны, исходящей из этой же вершины.

У треугольника 3 вершины. В каждой вершине сходятся две стороны. Мы можем продлить каждую из этих сторон за вершину, чтобы образовать внешний угол. Таким образом, для каждой вершины треугольника существует два внешних угла. Эти два угла являются вертикальными и, следовательно, равны друг другу.

Поскольку у треугольника 3 вершины, общее количество внешних углов, которые можно построить, равно произведению числа вершин на количество внешних углов при каждой вершине:

$$3 \text{ вершины} \times 2 \text{ внешних угла на вершину} = 6 \text{ внешних углов}$$

Таким образом, у треугольника всего 6 внешних углов (по два у каждой вершины).

Ответ: 6

6. Сколько внешних углов у треугольника?

А) 3 Б) 6 В) 4 Г) 9

7. Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине?

А) $180^\circ$

Б) $300^\circ$

В) $360^\circ$

Г) $100^\circ$

Для нахождения суммы внешних углов треугольника необходимо использовать два ключевых геометрических факта: теорему о сумме внутренних углов треугольника и определение внешнего угла.

Решение

Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Внешний угол при каждой вершине треугольника является смежным с внутренним углом при той же вершине. Это означает, что сумма внутреннего и соответствующего ему внешнего угла равна $180^\circ$.

Обозначим внешние углы, взятые по одному при каждой вершине, как $\alpha'$, $\beta'$ и $\gamma'$. Тогда для каждой вершины справедливы следующие равенства:

• Внешний угол при вершине с углом $\alpha$ равен $\alpha' = 180^\circ - \alpha$
• Внешний угол при вершине с углом $\beta$ равен $\beta' = 180^\circ - \beta$
• Внешний угол при вершине с углом $\gamma$ равен $\gamma' = 180^\circ - \gamma$

Теперь найдем сумму этих трех внешних углов:

Сумма = $\alpha' + \beta' + \gamma' = (180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \gamma)$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

Сумма = $(180^\circ + 180^\circ + 180^\circ) - (\alpha + \beta + \gamma)$

Сумма = $540^\circ - (\alpha + \beta + \gamma)$

Так как мы знаем, что сумма внутренних углов $(\alpha + \beta + \gamma)$ равна $180^\circ$, подставим это значение в полученное выражение:

Сумма = $540^\circ - 180^\circ = 360^\circ$

Таким образом, сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$. Стоит отметить, что это утверждение верно для любого выпуклого многоугольника.

Среди предложенных вариантов ответа, $360^\circ$ соответствует варианту В.

Ответ: В) $360^\circ$

7. Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине?

А) $180^\circ$

Б) $300^\circ$

В) $360^\circ$

Г) $100^\circ$