Номер 536, страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 536, страница 134.

536. Разрежьте треугольник на четыре части так, чтобы, перевернув три из них, можно было сложить треугольник, равный данному.

Для решения этой задачи необходимо разрезать исходный треугольник на четыре меньших конгруэнтных треугольника. Это достигается с помощью проведения средних линий.

1. Разрезание треугольника

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Найдём середины его сторон: точку $F$ на стороне $AB$, точку $D$ на стороне $BC$ и точку $E$ на стороне $AC$. Соединим эти точки отрезками $FD$, $DE$ и $EF$. Эти отрезки являются средними линиями треугольника $ABC$. В результате треугольник $ABC$ разрезается на четыре части:

• Треугольник $AFE$ (верхний)
• Треугольник $FBD$ (левый нижний)
• Треугольник $EDC$ (правый нижний)
• Треугольник $FED$ (центральный)

Согласно теореме о средней линии, каждая средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Например, $FE || BC$ и $FE = \frac{1}{2}BC$. Из этого следует, что все четыре малых треугольника ($AFE$, $FBD$, $EDC$, $FED$) конгруэнтны (равны) друг другу по трём сторонам (признак SSS). Например, для $\triangle FBD$ и $\triangle FED$ стороны равны $(FB, BD, DF)$ и $(DE, EF, FD)$, а так как $FB=DE=\frac{1}{2}AB$, $BD=EF=\frac{1}{2}BC$ и $DF$ — общая, то треугольники конгруэнтны.

2. Преобразование и сборка

Обозначим три "угловых" треугольника как части 1, 2, 3, а центральный — как часть 4.

• Часть 1: $\triangle AFE$
• Часть 2: $\triangle FBD$
• Часть 3: $\triangle EDC$
• Часть 4: $\triangle FED$

Согласно условию, нужно перевернуть три части. Перевернём три угловые части: $\triangle AFE$, $\triangle FBD$ и $\triangle EDC$. Центральный треугольник $\triangle FED$ оставим без изменений. Теперь у нас есть новый набор из четырёх частей для сборки.

Все четыре части в новом наборе ($\triangle AFE'$, $\triangle FBD'$, $\triangle EDC'$ и $\triangle FED$) являются конгруэнтными треугольниками, так как операция переворачивания (осевая симметрия) сохраняет размеры и форму фигуры. Важно отметить, что три угловых треугольника изначально имели одну ориентацию, а центральный — противоположную. После переворачивания все четыре треугольника будут иметь одинаковую ориентацию.

Из четырёх конгруэнтных треугольников, подобных исходному, всегда можно сложить треугольник, который будет подобен им, а значит и исходному треугольнику. Поскольку площадь нового треугольника будет равна сумме площадей четырёх частей, то есть площади исходного треугольника, а их формы подобны, то новый треугольник будет не просто подобен, а конгруэнтен (равен) исходному.

Сборку можно произвести, расположив три треугольника "вершинами наружу" и поместив четвёртый в образовавшееся центральное пустое пространство. В результате получится треугольник, равный исходному $\triangle ABC$.

Ответ: Нужно соединить середины сторон данного треугольника. Это разрежет его на четыре равных треугольника. Затем, перевернув любые три из этих четырёх частей, можно будет снова сложить треугольник, равный исходному.

536. Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку $M$ выбрали так, что треугольник $\triangle AMB$ – равнобедренный с основанием $AB$. Докажите, что $\triangle CMD$ также является равнобедренным с основанием $CD$.