Номер 531, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 531, страница 133.

531. В треугольнике $MKE$ $\angle K=90^\circ$, $\angle E=30^\circ$, $KE=12$ см. Найдите биссектрису $MC$ треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKE$, в котором по условию $\angle K = 90^\circ$, $\angle E = 30^\circ$ и катет $KE = 12$ см. $MC$ — биссектриса угла $M$.

Решение:

Сначала найдем величину угла $M$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, получаем:
$\angle M = 180^\circ - \angle K - \angle E = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $MC$ является биссектрисой, она делит угол $M$ на два равных угла. Это означает, что угол $\angle KMC$ в треугольнике $MKC$ равен:
$\angle KMC = \frac{\angle M}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Для того чтобы найти длину биссектрисы $MC$, которая является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $MKC$, нам необходимо сначала найти длину катета $MK$. Найдем ее из исходного треугольника $MKE$ через тангенс угла $E$:
$\text{tg}(\angle E) = \frac{MK}{KE}$
$MK = KE \cdot \text{tg}(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная катет $MK = 4\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему угол $\angle KMC = 30^\circ$ в прямоугольном треугольнике $MKC$, мы можем найти гипотенузу $MC$ с помощью косинуса:
$\cos(\angle KMC) = \frac{MK}{MC}$
$MC = \frac{MK}{\cos(\angle KMC)} = \frac{4\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

531. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.