Страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

518. В прямоугольном треугольнике DEF гипотенуза DE равна 18 см, $ \angle D = 30^\circ $. Найдите катет FE.

В прямоугольном треугольнике $DEF$ гипотенуза $DE$ равна 18 см, а один из острых углов, $\angle D$, равен $30°$. Необходимо найти катет $FE$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла, является противолежащим этому углу. В данном случае катет $FE$ лежит напротив угла $\angle D$.

Существует свойство прямоугольного треугольника, которое гласит: катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы.

Поскольку катет $FE$ лежит напротив угла $\angle D = 30°$, его длина будет равна половине длины гипотенузы $DE$.

Вычислим длину катета $FE$: $FE = \frac{1}{2} \cdot DE$ $FE = \frac{1}{2} \cdot 18$ $FE = 9$ см.

Ответ: 9 см.

518. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$. Докажите, что:

1) прямая $BC$ является касательной к окружности с центром $A$, проходящей через точку $C$;

2) прямая $AB$ не является касательной к окружности с центром $C$, проходящей через точку $A$.

519. В прямоугольном треугольнике МКС $\angle M = 90^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $CM = 7$ см.
Найдите гипотенузу СК.

В прямоугольном треугольнике МКС известны следующие данные:

• Прямой угол $ \angle M = 90^\circ $.
• Острый угол $ \angle C = 60^\circ $.
• Длина катета, прилежащего к углу C, $ CM = 7 $ см.

Требуется найти длину гипотенузы CK.

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла C в треугольнике MKC это соотношение выглядит так:

$ \cos(\angle C) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CM}{CK} $

Подставим известные значения в эту формулу. Мы знаем, что $ \angle C = 60^\circ $ и $ CM = 7 $ см. Значение косинуса 60° является стандартной тригонометрической величиной: $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $.

Получаем уравнение:

$ \frac{1}{2} = \frac{7}{CK} $

Чтобы найти CK, решим это уравнение относительно CK:

$ CK = 7 \cdot 2 $

$ CK = 14 $ см.

Ответ: 14 см.

519. Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

520. В треугольнике ABC $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 45^{\circ}$, отрезок CK – высота, $AC = 10 \text{ см}$. Найдите отрезок BK.

По условию задачи, отрезок $CK$ является высотой в треугольнике $ABC$, проведенной к стороне $AB$. Это означает, что $CK$ перпендикулярна $AB$, и, следовательно, образует два прямоугольных треугольника: $\triangle AKC$ и $\triangle BKC$. Угол $\angle CKA$ и угол $\angle CKB$ равны $90^{\circ}$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$. В нем нам известны гипотенуза $AC = 10$ см и прилежащий к ней острый угол $\angle A = 30^{\circ}$. Высота $CK$ является катетом, который лежит напротив угла $A$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Исходя из этого свойства, находим длину $CK$:

$CK = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$. В нем нам известен катет $CK = 5$ см (найденный на предыдущем шаге) и острый угол $\angle B = 45^{\circ}$. Нам необходимо найти длину второго катета $BK$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Найдем второй острый угол этого треугольника, $\angle BCK$:

$\angle BCK = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Так как в треугольнике $BKC$ два угла равны ($\angle B = \angle BCK = 45^{\circ}$), то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $BK$ лежит напротив угла $\angle BCK$, а сторона $CK$ — напротив угла $\angle B$. Следовательно, их длины равны:

$BK = CK$.

Поскольку мы уже знаем, что $CK = 5$ см, то и $BK = 5$ см.

Ответ: 5 см.

520. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB, перпендикулярную ему. Докажите, что $\angle AOB = 120^\circ$.

521. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, отрезок CD – высота, $BD = 7$ см. Найдите гипотенузу AB.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а нам даны $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$, мы можем найти угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $BDC$. Так как $CD$ – высота, проведенная к стороне $AB$, то $\angle CDB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $BDC$ является прямоугольным.

3. В прямоугольном треугольнике $BDC$ нам известны два угла: $\angle CDB = 90^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Найдем третий угол, $\angle BCD$:

$\angle BCD = 180^\circ - \angle CDB - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $BDC$ катет $BD$ лежит напротив угла $\angle BCD$, равного $30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В данном треугольнике гипотенузой является сторона $BC$.

Следовательно, $BD = \frac{1}{2} BC$.

Зная, что $BD = 7$ см, находим длину катета $BC$:

$BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 7 = 14$ см.

5. Вернемся к исходному прямоугольному треугольнику $ABC$. В нем катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A$, равного $30^\circ$. Применим то же свойство: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AB$.

$BC = \frac{1}{2} AB$.

Отсюда находим длину гипотенузы $AB$:

$AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 14 = 28$ см.

Ответ: 28 см.

521. Найдите угол между радиусами $OA$ и $OB$ окружности, если расстояние от центра $O$ окружности до хорды $AB$ в 2 раза меньше:

1) длины хорды $AB$;

2) радиуса окружности.

522. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, отрезок CK – высота, $CK = 7$ см, $AC = 14$ см. Найдите угол $B$.

Решение:

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$, а $CK$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Это означает, что $CK$ перпендикулярна $AB$, и, следовательно, треугольник $ACK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle CKA = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$. В нем нам известны:

• длина катета $CK = 7$ см;
• длина гипотенузы $AC = 14$ см.

В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ противолежащим катетом является $CK$. Таким образом:

$\sin(\angle A) = \frac{CK}{AC}$

Подставим известные значения:

$\sin(\angle A) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, это $30^\circ$. Значит, $\angle A = 30^\circ$.

Теперь вернемся к исходному треугольнику $ABC$. Он прямоугольный, и сумма его острых углов ($\angle A$ и $\angle B$) равна $90^\circ$.

$\angle A + \angle B = 90^\circ$

Найдем угол $B$, зная, что $\angle A = 30^\circ$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$

522. В окружности провели диаметр $AB$ и хорды $AC$ и $CD$ так, что $AC = 12$ см, $\angle BAC = 30^\circ$, $AB \perp CD$. Найдите длину хорды $CD$.

523. В равностороннем треугольнике $ABC$ точка $D$ – середина стороны $AB$. Из этой точки опущен перпендикуляр $DE$ на сторону $AC$. Найдите отрезки, на которые точка $E$ разбивает отрезок $AC$, если сторона данного треугольника равна $16\text{ см}$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его стороны равны 16 см, а все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $AB = AC = 16$ см и $\angle A = 60^\circ$.

По условию, точка $D$ — середина стороны $AB$. Это означает, что длина отрезка $AD$ составляет половину длины стороны $AB$:
$AD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Из условия известно, что $DE$ — перпендикуляр, опущенный на сторону $AC$. Таким образом, угол $\angle AED$ прямой и равен $90^\circ$, а треугольник $ADE$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $ADE$ нам известны гипотенуза $AD = 8$ см и прилежащий к катету $AE$ угол $\angle A = 60^\circ$. Длину катета $AE$ можно найти, используя определение косинуса: $\cos(\angle A) = \frac{AE}{AD}$

Выразим из формулы $AE$ и подставим известные значения:
$AE = AD \cdot \cos(\angle A) = 8 \cdot \cos(60^\circ)$

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Вычислим длину $AE$:
$AE = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Точка $E$ лежит на стороне $AC$ и делит ее на два отрезка: $AE$ и $EC$. Длина всей стороны $AC$ равна 16 см. Чтобы найти длину второго отрезка $EC$, нужно из длины всего отрезка $AC$ вычесть длину отрезка $AE$:
$EC = AC - AE = 16 - 4 = 12$ см.

Ответ: точка $E$ разбивает отрезок $AC$ на отрезки длиной 4 см и 12 см.

523. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB, A и B – точки касания, $ \angle OAB = 20^\circ $. Найдите $ \angle AMB $.

524. Один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, а разность гипотенузы и меньшего катета — 5 см. Найдите эти стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен $30^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол будет равен $180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Следовательно, меньший катет лежит напротив угла в $30^\circ$.

Обозначим:

• $a$ – меньший катет (лежащий напротив угла $30^\circ$);
• $b$ – больший катет (лежащий напротив угла $60^\circ$);
• $c$ – гипотенуза.

По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. То есть:

$a = \frac{c}{2}$

Отсюда следует, что $c = 2a$.

По условию задачи, разность гипотенузы и меньшего катета равна 5 см:

$c - a = 5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение $c = 2a$ во второе уравнение:

$2a - a = 5$

$a = 5$ см

Мы нашли длину меньшего катета. Теперь найдем гипотенузу:

$c = 2a = 2 \cdot 5 = 10$ см

Осталось найти второй (больший) катет $b$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$5^2 + b^2 = 10^2$

$25 + b^2 = 100$

$b^2 = 100 - 25$

$b^2 = 75$

$b = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см

Таким образом, мы нашли все три стороны треугольника.

Ответ: стороны треугольника равны 5 см, 10 см и $5\sqrt{3}$ см.

524. Через концы хорды $AB$, равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке $C$. Найдите $\angle ACB$.

525. На рисунке 310 отрезок $AB$ – перпендикуляр, отрезок $AC$ – наклонная, $AC = 2$ см. Найдите угол $ACB$ и длину перпендикуляра $AB$, если эта длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу.

Рис. 310

Согласно условию, отрезок $AB$ является перпендикуляром к прямой, на которой лежит отрезок $BC$, а отрезок $AC$ — наклонной. Это означает, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$). В этом треугольнике $AB$ — катет, а $AC$ — гипотенуза.

Длина перпендикуляра AB

В любом прямоугольном треугольнике длина катета всегда меньше длины гипотенузы. Следовательно, $AB < AC$.

По условию задачи $AC = 2$ см, значит, $AB < 2$ см.

Также в условии сказано, что длина $AB$, выраженная в сантиметрах, является целым числом. Единственное положительное целое число, которое меньше 2, — это 1.

Таким образом, длина перпендикуляра $AB = 1$ см.

Ответ: длина перпендикуляра $AB$ равна 1 см.

Угол ACB

Для нахождения угла $ACB$ воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике $ABC$. Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

$ \sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} $

Подставим найденные и данные значения:

$ \sin(\angle ACB) = \frac{1 \text{ см}}{2 \text{ см}} = \frac{1}{2} $

Острый угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, это $30^\circ$.

Следовательно, $\angle ACB = 30^\circ$.

Ответ: угол $ACB$ равен $30^\circ$.

525. Через точку $C$ окружности с центром $O$ провели касательную к этой окружности, $AB$ – диаметр окружности. Из точки $A$ на касательную опущен перпендикуляр $AD$. Докажите, что луч $AC$ – биссектриса угла $BAD$.

526. На катете $AC$ треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) отметили точку $K$ так, что $AK = BK$. Найдите угол $A$, если $AK = 6$ см, $KC = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Точка $K$ лежит на катете $AC$.

По условию, $AK = 6$ см и $KC = 3$ см. Поскольку точка $K$ находится на отрезке $AC$, мы можем найти длину катета $AC$ как сумму длин отрезков $AK$ и $KC$:$AC = AK + KC = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Также по условию дано, что $AK = BK$. Следовательно, длина отрезка $BK$ также равна $6$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. Так как $\angle C$ в треугольнике $ABC$ прямой, то треугольник $BKC$ также является прямоугольным с прямым углом $C$. В этом треугольнике $KC$ и $BC$ — катеты, а $BK$ — гипотенуза.

Используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), найдем длину катета $BC$:$BC^2 + KC^2 = BK^2$$BC^2 + 3^2 = 6^2$$BC^2 + 9 = 36$$BC^2 = 36 - 9 = 27$$BC = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная длины обоих катетов в исходном прямоугольном треугольнике $ABC$ ($AC = 9$ см и $BC = 3\sqrt{3}$ см), мы можем найти величину угла $A$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$

Подставим известные значения:$\tan(\angle A) = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Значение тангенса $\frac{\sqrt{3}}{3}$ соответствует углу $30^\circ$. Таким образом, искомый угол $A$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

526. Прямая $AC$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$ (рис. 296). Докажите, что угол $\angle BAC$ в 2 раза меньше угла $\angle AOB$.

Рис. 294

Рис. 295

Рис. 296

527. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а один из углов – $120^\circ$. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 18$ см. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($\angle A = \angle C$), а боковые стороны равны ($AB = BC$).

В условии сказано, что один из углов равен $120°$. Этот угол не может быть углом при основании, так как в этом случае сумма двух углов при основании была бы $120° + 120° = 240°$, что превышает сумму всех углов треугольника ($180°$). Следовательно, угол $120°$ — это угол при вершине, противолежащей основанию, то есть $\angle B = 120°$.

Найдем углы при основании. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Тогда сумма углов при основании $\angle A + \angle C = 180° - \angle B = 180° - 120° = 60°$. Так как $\angle A = \angle C$, то каждый из них равен $60° / 2 = 30°$.

Нам нужно найти высоту, проведённую из вершины угла при основании. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Так как угол $\angle B$ тупой ($120° > 90°$), высота $AH$ упадёт не на саму сторону $BC$, а на её продолжение за точку $B$.

Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому их сумма равна $180°$.
$\angle ABH = 180° - \angle ABC = 180° - 120° = 60°$.
Треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным, так как $AH$ — высота, следовательно $\angle AHB = 90°$.

Для того чтобы найти высоту $AH$, нам нужно знать длину одной из сторон треугольника $\triangle ABH$. Найдем длину гипотенузы $AB$, которая является боковой стороной исходного треугольника $\triangle ABC$. Воспользуемся теоремой синусов для $\triangle ABC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$
Подставим известные значения:
$\frac{18}{\sin(120°)} = \frac{AB}{\sin(30°)}$
Выразим $AB$:
$AB = 18 \cdot \frac{\sin(30°)}{\sin(120°)}$
Зная, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$ и $\sin(120°) = \sin(180°-60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AB = 18 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle ABH$. Мы знаем гипотенузу $AB = 6\sqrt{3}$ см и угол $\angle ABH = 60°$. Высота $AH$ является катетом, противолежащим этому углу. Найдем $AH$ через синус угла $\angle ABH$:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$
$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 6\sqrt{3} \cdot \sin(60°)$
$AH = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

527. Отрезки $AB$ и $BC$ — соответственно хорда и диаметр окружности, $\angle ABC = 30^\circ$. Через точку $A$ провели касательную к окружности, пересекающую прямую $BC$ в точке $D$. Докажите, что $\triangle ABD$ — равнобедренный.

528. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ провели высоту $BM$, $BM = 7,5 \text{ см}$, $\angle MBC = 15^\circ$. Найдите боковую сторону треугольника.

Поскольку $BM$ — высота в треугольнике $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, треугольник $BMC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$ ($\angle BMC = 90^\circ$).
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. В треугольнике $BMC$ мы знаем $\angle MBC = 15^\circ$, значит, можем найти угол $\angle MCB$:
$\angle MCB = 90^\circ - \angle MBC = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Это означает, что углы при основании равны:
$\angle ABC = \angle ACB = 75^\circ$.

Угол $\angle ABC$ можно представить как сумму двух углов: $\angle ABM$ и $\angle MBC$.
$\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC$
Подставив известные значения, найдем угол $\angle ABM$:
$75^\circ = \angle ABM + 15^\circ$
$\angle ABM = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ ($\angle BMA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет $BM = 7.5$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle ABM = 60^\circ$. Боковая сторона $AB$ является гипотенузой этого треугольника.
Для нахождения гипотенузы воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle ABM) = \frac{BM}{AB}$
Подставим известные значения. Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{7.5}{AB}$
Из этого уравнения выразим $AB$:
$AB = 7.5 \cdot 2 = 15$ см.

Так как $AB$ — это боковая сторона равнобедренного треугольника, то мы нашли искомую величину.

Ответ: 15 см.

528. Известно, что диаметр $AB$ делит хорду $CD$ пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что $CD$ – также диаметр.

529. Биссектрисы $AM$ и $BK$ равностороннего треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $AO : OM = 2 : 1$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его углы равны $60^\circ$, а все стороны равны между собой. Ключевым свойством равностороннего треугольника является то, что биссектриса, проведенная из любого угла, является одновременно и медианой, и высотой.

1. По условию, $AM$ — биссектриса угла $A$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $AM$ также является его медианой, проведенной к стороне $BC$.

2. Аналогично, $BK$ — биссектриса угла $B$, и, следовательно, $BK$ также является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$.

3. Точка $O$ является точкой пересечения отрезков $AM$ и $BK$. Поскольку $AM$ и $BK$ являются медианами треугольника, их точка пересечения $O$ является центром тяжести (или центроидом) треугольника $ABC$.

4. Существует свойство медиан треугольника, согласно которому все три медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

5. Применим это свойство к медиане $AM$. Точка $O$ делит медиану $AM$ на два отрезка, $AO$ (от вершины до центроида) и $OM$ (от центроида до основания), в отношении:

$AO : OM = 2 : 1$

Таким образом, требуемое утверждение доказано.

Альтернативное решение (через теорему о биссектрисе):

1. Рассмотрим треугольник $ABM$. В равностороннем треугольнике $ABC$ биссектриса $AM$ является также высотой, поэтому $\angle AMB = 90^\circ$.

2. Отрезок $BO$ является частью биссектрисы $BK$ угла $B$, поэтому $BO$ является биссектрисой угла $ABM$ (то есть угла $B$).

3. По теореме о биссектрисе угла в треугольнике, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Применим это свойство для треугольника $ABM$ и биссектрисы $BO$:

$\frac{AO}{OM} = \frac{AB}{BM}$

4. Пусть длина стороны равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$. Тогда $AB = a$. Так как $AM$ является медианой, точка $M$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BM = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

5. Подставим значения длин в пропорцию:

$\frac{AO}{OM} = \frac{a}{a/2} = 2$

Отсюда следует, что $AO : OM = 2 : 1$.

Ответ: Доказано, что $AO : OM = 2 : 1$.

529. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.

530. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Серединный перпендикуляр отрезка $AB$ пересекает его в точке $M$, а отрезок $BC$ – в точке $K$.

Докажите, что $MK = \frac{1}{3}BC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle A$ равен:

$\angle A = 180^\circ - \angle C - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Прямая $MK$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Так как точка $K$ лежит на прямой $MK$, то она равноудалена от точек $A$ и $B$. Следовательно, $AK = BK$.

3. Рассмотрим треугольник $AKB$. Поскольку $AK = BK$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит:

$\angle KAB = \angle KBA = \angle B = 30^\circ$.

4. Теперь мы можем найти угол $\angle KAC$:

$\angle KAC = \angle BAC - \angle KAB = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$ ($\angle C = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $KC$ лежит напротив угла $\angle KAC = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Таким образом:

$KC = \frac{1}{2}AK$.

6. Из пункта 2 мы знаем, что $AK = BK$. Заменим $AK$ на $BK$ в предыдущем равенстве:

$KC = \frac{1}{2}BK$.

7. Весь отрезок $BC$ состоит из отрезков $BK$ и $KC$, то есть $BC = BK + KC$. Подставим выражение для $KC$ из пункта 6:

$BC = BK + \frac{1}{2}BK = \frac{3}{2}BK$.

Выразим отсюда $BK$:

$BK = \frac{2}{3}BC$.

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBK$. Он прямоугольный, так как $MK$ — перпендикуляр к $AB$, значит $\angle KMB = 90^\circ$. В этом треугольнике катет $MK$ лежит напротив угла $\angle B = 30^\circ$. Тогда гипотенуза $BK$ связана с катетом $MK$ через синус:

$MK = BK \cdot \sin(\angle B) = BK \cdot \sin(30^\circ)$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$MK = BK \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}BK$.

9. Наконец, подставим в это равенство выражение для $BK$ из пункта 7:

$MK = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}BC\right) = \frac{1}{3}BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $MK = \frac{1}{3}BC$.

530. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.

531. В треугольнике $MKE$ $\angle K=90^\circ$, $\angle E=30^\circ$, $KE=12$ см. Найдите биссектрису $MC$ треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKE$, в котором по условию $\angle K = 90^\circ$, $\angle E = 30^\circ$ и катет $KE = 12$ см. $MC$ — биссектриса угла $M$.

Решение:

Сначала найдем величину угла $M$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, получаем:
$\angle M = 180^\circ - \angle K - \angle E = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $MC$ является биссектрисой, она делит угол $M$ на два равных угла. Это означает, что угол $\angle KMC$ в треугольнике $MKC$ равен:
$\angle KMC = \frac{\angle M}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Для того чтобы найти длину биссектрисы $MC$, которая является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $MKC$, нам необходимо сначала найти длину катета $MK$. Найдем ее из исходного треугольника $MKE$ через тангенс угла $E$:
$\text{tg}(\angle E) = \frac{MK}{KE}$
$MK = KE \cdot \text{tg}(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная катет $MK = 4\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему угол $\angle KMC = 30^\circ$ в прямоугольном треугольнике $MKC$, мы можем найти гипотенузу $MC$ с помощью косинуса:
$\cos(\angle KMC) = \frac{MK}{MC}$
$MC = \frac{MK}{\cos(\angle KMC)} = \frac{4\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

531. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.