Страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

480. С помощью транспортира и линейки постройте равнобедренный прямоугольный треугольник:

1) с катетом, равным 5 см;

2) с гипотенузой, равной 4 см.

1) с катетом, равным 5 см;

Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет прямой угол ($90^\circ$) и два равных катета. Углы при основании (гипотенузе) у такого треугольника равны по $45^\circ$. Для построения по катету мы воспользуемся свойством, что катеты равны и перпендикулярны друг другу.

1. С помощью линейки начертим отрезок AC длиной 5 см. Это будет один из катетов будущего треугольника.
2. Приложим транспортир к точке A так, чтобы его центр совпадал с точкой A, а нулевая отметка лежала на отрезке AC.
3. Отметим угол в $90^\circ$ и проведём из точки A луч AX перпендикулярно отрезку AC.
4. На луче AX отложим с помощью линейки отрезок AB, равный 5 см. Это будет второй катет.
5. Соединим точки B и C с помощью линейки. Полученный отрезок BC является гипотенузой.

В результате построен треугольник ABC, у которого катеты $AB = AC = 5$ см, а угол между ними $\angle A = 90^\circ$. Следовательно, это искомый равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: Построен треугольник с двумя катетами по 5 см и прямым углом между ними.

2) с гипотенузой, равной 4 см.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а один из углов прямой ($90^\circ$), то на два других угла приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку эти углы равны, каждый из них составляет $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

1. С помощью линейки начертим отрезок BC длиной 4 см. Это будет гипотенуза будущего треугольника.
2. Приложим транспортир к точке B так, чтобы его центр совпадал с точкой B, а нулевая отметка лежала на отрезке BC.
3. Отметим угол в $45^\circ$ и проведём из точки B луч BX.
4. Теперь приложим транспортир к точке C так, чтобы его центр совпадал с точкой C, а нулевая отметка лежала на отрезке BC.
5. С той же стороны от отрезка BC отметим угол в $45^\circ$ и проведём из точки C луч CY.
6. Лучи BX и CY пересекутся в некоторой точке A.

В результате построен треугольник ABC. Угол $\angle A$ в этом треугольнике будет равен $180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$. Так как углы при основании BC равны, то треугольник является равнобедренным, а так как один из углов равен $90^\circ$, он также является прямоугольным. Гипотенуза BC по построению равна 4 см.

Ответ: Построен треугольник по гипотенузе длиной 4 см и двум прилежащим к ней углам по $45^\circ$.

480. На рисунке 281 изображена окружность с центром $B$. Укажите радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на рисунке радиусов? Хорд?

Рис. 281

481. На рисунке 300 изображён треугольник $MKE$ с прямым углом при вершине $K$. Укажите:

1) катеты и гипотенузу треугольника;

2) катет, прилежащий к углу $E$;

3) катет, противолежащий углу $M$.

Рис. 300

В заданном прямоугольном треугольнике $MKE$ угол при вершине $K$ является прямым, то есть $ \angle K = 90^\circ $. В прямоугольном треугольнике стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Стороны $MK$ и $KE$ образуют прямой угол $K$, следовательно, они являются катетами. Сторона $ME$ лежит напротив прямого угла $K$, поэтому она является гипотенузой.
Ответ: катеты — $MK$ и $KE$; гипотенуза — $ME$.

Прилежащим к острому углу называется катет, который является одной из сторон этого угла. Угол $E$ образован гипотенузой $ME$ и катетом $KE$. Значит, катет $KE$ является прилежащим к углу $E$.
Ответ: $KE$.

Противолежащим к острому углу называется катет, который лежит напротив этого угла. Напротив угла $M$ лежит сторона $KE$, которая является катетом.
Ответ: $KE$.

481. Хорды $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ равны. Докажите, что $\angle AOB = \angle COD$.

482. На рисунке 301 отрезок $AD$ – высота треугольника $ABC$. Найдите на этом рисунке прямоугольные треугольники, укажите в каждом из них катеты и гипотенузу.

Рис. 301

По условию задачи, отрезок $AD$ является высотой треугольника $ABC$. По определению, высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Следовательно, отрезок $AD$ перпендикулярен стороне $BC$.

Это означает, что углы, образованные высотой $AD$ и стороной $BC$ в точке $D$, являются прямыми, то есть их градусная мера равна $90^\circ$:

$\angle ADB = 90^\circ$

$\angle ADC = 90^\circ$

Треугольник, один из углов которого является прямым, называется прямоугольным. Таким образом, на рисунке есть два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$.

В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой.

Прямоугольный треугольник $\triangle ADB$

В этом треугольнике угол $\angle ADB$ — прямой. Катетами являются стороны, прилежащие к этому углу: $AD$ и $BD$. Гипотенузой является сторона, лежащая напротив прямого угла: $AB$.

Ответ: В треугольнике $\triangle ADB$ катеты — $AD$ и $BD$, гипотенуза — $AB$.

Прямоугольный треугольник $\triangle ADC$

В этом треугольнике угол $\angle ADC$ — прямой. Катетами являются стороны, прилежащие к этому углу: $AD$ и $DC$. Гипотенузой является сторона, лежащая напротив прямого угла: $AC$.

Ответ: В треугольнике $\triangle ADC$ катеты — $AD$ и $DC$, гипотенуза — $AC$.

482. На рисунке 282 точка O – центр окружности, $\angle COD = \angle MOK$. Докажите, что хорды CD и MK равны.

Рис. 282

483. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $43^\circ$. Найдите второй острый угол.

В любом треугольнике сумма всех трех углов равна $180^\circ$.

В прямоугольном треугольнике один из углов является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Следовательно, сумма двух других углов, которые являются острыми, должна составлять $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

По условию задачи, один из острых углов равен $43^\circ$. Чтобы найти величину второго острого угла, необходимо вычесть известный угол из $90^\circ$.

Пусть неизвестный острый угол равен $x$. Тогда:

$x + 43^\circ = 90^\circ$

$x = 90^\circ - 43^\circ$

$x = 47^\circ$

Ответ: $47^\circ$

483. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Докажите, что $\angle BAC = \angle CDB$.

484. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если их градусные меры относятся как 7 : 8.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. Следовательно, сумма двух других, острых, углов составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

По условию задачи, градусные меры этих острых углов относятся как $7:8$. Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда величину одного острого угла можно выразить как $7x$, а второго — как $8x$.

Составим уравнение, зная, что сумма этих углов равна $90^\circ$:

$7x + 8x = 90$

Теперь решим это уравнение:

$15x = 90$

$x = \frac{90}{15}$

$x = 6$

Теперь найдем градусные меры каждого острого угла, подставив найденное значение $x$:

Первый острый угол: $7 \cdot x = 7 \cdot 6 = 42^\circ$.

Второй острый угол: $8 \cdot x = 8 \cdot 6 = 48^\circ$.

Ответ: острые углы прямоугольного треугольника равны $42^\circ$ и $48^\circ$.

484. Отрезки $MK$ и $EF$ – диаметры окружности с центром $O$, $MK = 12$ см, $ME = 10$ см. Найдите периметр треугольника $FOK$.

485. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на $32^\circ$ больше другого.

В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Пусть величина меньшего острого угла равна $x$. По условию, второй острый угол на $32^\circ$ больше, значит, его величина равна $x + 32^\circ$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма острых углов равна $90^\circ$:
$x + (x + 32^\circ) = 90^\circ$

Решим полученное уравнение:
$2x + 32^\circ = 90^\circ$
$2x = 90^\circ - 32^\circ$
$2x = 58^\circ$
$x = \frac{58^\circ}{2}$
$x = 29^\circ$

Таким образом, меньший острый угол равен $29^\circ$.

Теперь найдем величину большего острого угла:
$29^\circ + 32^\circ = 61^\circ$

Итак, искомые острые углы равны $29^\circ$ и $61^\circ$.

Ответ: $29^\circ$ и $61^\circ$.

485. Отрезки $AC$ и $AB$ – соответственно диаметр и хорда окружности с центром $O$, $\angle BAC = 26^\circ$ (рис. 283). Найдите $\angle BOC$.

Рис. 283

486. Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, и одним из катетов равен $76^\circ$. Найдите острые углы треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Проведём высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$, следовательно, треугольники $ACH$ и $BCH$ также являются прямоугольными ($\angle AHC = \angle BHC = 90^\circ$).

По условию, угол между высотой $CH$ и одним из катетов равен $76^\circ$. Допустим, это угол между высотой $CH$ и катетом $AC$, то есть $\angle ACH = 76^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, $\angle CAH + \angle ACH = 90^\circ$. Угол $\angle CAH$ — это и есть острый угол $\angle A$ исходного треугольника $ABC$.

Таким образом, мы можем найти угол $\angle A$:

$\angle A + \angle ACH = 90^\circ$

$\angle A + 76^\circ = 90^\circ$

$\angle A = 90^\circ - 76^\circ = 14^\circ$.

Мы нашли один из острых углов исходного треугольника. Теперь найдём второй острый угол, $\angle B$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов также равна $90^\circ$:

$\angle A + \angle B = 90^\circ$

Подставим найденное значение $\angle A$:

$14^\circ + \angle B = 90^\circ$

$\angle B = 90^\circ - 14^\circ = 76^\circ$.

Таким образом, острые углы треугольника равны $14^\circ$ и $76^\circ$.

Ответ: $14^\circ$ и $76^\circ$.

486. Отрезки MP и MK – соответственно хорда и диаметр окружности с центром O, $\angle POK = 84^\circ$ (рис. 284). Найдите $\angle MPO$.

487. Найдите меньший из углов, образованных биссектрисой прямого угла треугольника с гипотенузой, если один из острых углов треугольника равен $54^{\circ}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). $AB$ — гипотенуза. По условию, один из острых углов равен $54^\circ$. Пусть это будет угол $A$, то есть $\angle A = 54^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол $B$:
$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$.

Проведем биссектрису $CD$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Биссектриса делит угол пополам, поэтому:
$\angle ACD = \angle BCD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Биссектриса $CD$ пересекает гипотенузу $AB$ и образует с ней два угла: $\angle ADC$ и $\angle BDC$. Чтобы найти их величину, рассмотрим один из треугольников, образовавшихся внутри исходного, например, треугольник $ADC$.

Сумма углов в треугольнике $ADC$ равна $180^\circ$. Мы знаем два его угла: $\angle A = 54^\circ$ и $\angle ACD = 45^\circ$. Найдем третий угол, $\angle ADC$:
$\angle ADC = 180^\circ - (\angle A + \angle ACD)$
$\angle ADC = 180^\circ - (54^\circ + 45^\circ)$
$\angle ADC = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$.

Углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Найдем второй угол $\angle BDC$:
$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$.

Мы получили два угла, образованных биссектрисой и гипотенузой: $81^\circ$ и $99^\circ$. Меньший из этих углов равен $81^\circ$.

Ответ: $81^\circ$

487. Отрезки $AB$ и $AC$ — соответственно диаметр и хорда окружности с центром $O$, хорда $AC$ равна радиусу этой окружности. Найдите $\angle BAC$.

488. В равнобедренном треугольнике ABC ($AB = BC$) проведена высота AH. Найдите угол CAH, если $\angle B = 76^\circ$.

Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$, $\angle B = 76^\circ$, $AH$ — высота.
Найти: $\angle CAH$.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle A = \angle C = (180^\circ - \angle B) / 2$
$\angle C = (180^\circ - 76^\circ) / 2 = 104^\circ / 2 = 52^\circ$

2. Рассмотрим треугольник $AHC$.
Поскольку $AH$ — высота, проведенная к стороне $BC$, то $AH \perp BC$. Следовательно, $\triangle AHC$ — прямоугольный, где $\angle AHC = 90^\circ$.

3. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Углы $\angle CAH$ и $\angle C$ (или $\angle HCA$) являются острыми углами в $\triangle AHC$.
$\angle CAH + \angle C = 90^\circ$
Отсюда можем найти искомый угол $\angle CAH$:
$\angle CAH = 90^\circ - \angle C$
$\angle CAH = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$

Ответ: $38^\circ$

488. Отрезок $CD$ – диаметр окружности с центром $O$. На окружности отметили точку $E$ так, что $\angle COE = 90^\circ$. Докажите, что $CE = DE$.

489. Угол между основанием равнобедренного треугольника и высотой, проведённой к боковой стороне, равен 19°. Найдите углы данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $ \angle BAC = \angle BCA $.

Проведём высоту из вершины $ A $ к боковой стороне $ BC $ и обозначим её $ AH $. По определению высоты, $ AH \perp BC $, следовательно, треугольник $ \triangle AHC $ является прямоугольным с прямым углом $ \angle AHC = 90^\circ $.

По условию задачи, угол между основанием $ AC $ и высотой $ AH $, проведённой к боковой стороне, равен $ 19^\circ $. Этот угол — $ \angle HAC $. Таким образом, $ \angle HAC = 19^\circ $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle AHC $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $. Мы можем найти угол $ \angle HCA $:

$ \angle HCA = 180^\circ - \angle AHC - \angle HAC $

$ \angle HCA = 180^\circ - 90^\circ - 19^\circ = 71^\circ $

Угол $ \angle HCA $ является углом при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $, то есть $ \angle BCA = 71^\circ $.

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то второй угол при основании также равен $ 71^\circ $:

$ \angle BAC = \angle BCA = 71^\circ $

Теперь найдём угол при вершине $ \angle ABC $, зная, что сумма всех углов треугольника $ \triangle ABC $ равна $ 180^\circ $:

$ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) $

$ \angle ABC = 180^\circ - (71^\circ + 71^\circ) = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ $

Таким образом, мы нашли все углы данного треугольника.

Ответ: углы треугольника равны $ 71^\circ, 71^\circ $ и $ 38^\circ $.

489. Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?