Страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.

Теорема о неравенстве треугольника утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. Это необходимое и достаточное условие для существования треугольника с заданными длинами сторон.

Математически для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ это выражается системой из трех неравенств, которые должны выполняться одновременно:
$a < b + c$
$b < a + c$
$c < a + b$

На практике достаточно проверить, что самая длинная сторона меньше суммы двух других. Например, отрезки длиной 5 см, 7 см и 10 см могут образовать треугольник, так как $10 < 5+7$. А отрезки длиной 4 см, 5 см и 10 см — не могут, так как $10 > 4+5$.

Следствием из этой теоремы является то, что любая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон:
$a > |b - c|$
$b > |a - c|$
$c > |a - b|$
Эти два утверждения эквивалентны.

Ответ: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Для всякого треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ верны неравенства: $a < b + c$, $b < a + c$, $c < a + b$.

2. Сформулируйте теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Основная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника утверждает, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Более формально, для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, это означает, что сторона $a$ больше стороны $b$ тогда и только тогда, когда угол $\alpha$ больше угла $\beta$. Это можно записать в виде эквивалентности: $a > b \Leftrightarrow \alpha > \beta$. Аналогичные соотношения верны и для других пар сторон и углов.

Из этой теоремы следуют важные выводы:

Следствие 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, так как они лежат против равных боковых сторон. Верно и обратное: если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Следствие 2: В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов, так как она лежит против наибольшего угла ($90^\circ$).

Следствие 3: В тупоугольном треугольнике наибольшей является сторона, лежащая против тупого угла.

Помимо этой основной качественной теоремы, существуют и другие, которые количественно описывают связь между сторонами и углами треугольника. Наиболее известными являются теорема синусов и теорема косинусов.

Теорема синусов устанавливает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру описанной около треугольника окружности ($2R$).
Формула: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

Теорема косинусов (обобщение теоремы Пифагора) утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Формулы:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Ответ: Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника гласит: в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона. Если $a$ и $b$ – стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ – противолежащие им углы, то соотношение $a > b$ эквивалентно соотношению $\alpha > \beta$.

458. Могут ли стороны треугольника быть равными:

1) $6 \text{ см}$, $5 \text{ см}$, $12 \text{ см}$;

2) $6 \text{ см}$, $5 \text{ см}$, $11 \text{ см}$?

Чтобы определить, может ли существовать треугольник с заданными сторонами, используется правило, известное как неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть строго больше длины третьей стороны. Для проверки достаточно сложить длины двух самых коротких сторон и сравнить их сумму с длиной самой длинной стороны.

1) 6 см, 5 см, 12 см;

Даны стороны длиной 6 см, 5 см и 12 см. Две самые короткие стороны — это 6 см и 5 см. Самая длинная сторона — 12 см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника: сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей стороны.

Сумма двух меньших сторон: $6 + 5 = 11$ см.

Сравним эту сумму с длиной наибольшей стороны: $11 \text{ см} < 12 \text{ см}$.

Поскольку сумма длин двух сторон (11 см) не больше, а меньше длины третьей стороны (12 см), неравенство треугольника не выполняется. Следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Ответ: нет.

2) 6 см, 5 см, 11 см?

Даны стороны длиной 6 см, 5 см и 11 см. Две самые короткие стороны — 6 см и 5 см. Самая длинная сторона — 11 см.

Проверим неравенство треугольника для этих сторон.

Сумма двух меньших сторон: $6 + 5 = 11$ см.

Сравним эту сумму с длиной наибольшей стороны: $11 \text{ см} = 11 \text{ см}$.

Сумма длин двух сторон равна длине третьей стороны. Для существования невырожденного треугольника сумма должна быть строго больше. В данном случае все три вершины лежали бы на одной прямой, образуя вырожденный треугольник. Таким образом, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Ответ: нет.

458. В прямоугольном треугольнике $DEF$ гипотенуза $DE$ равна 18 см, $\angle D = 30^\circ$. Найдите катет $FE$.

459. Сравните углы треугольника ABC, если:

1) $AB > AC > BC$;

2) $AB = BC, BC > AC$.

1)

Для сравнения углов треугольника воспользуемся теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника, которая гласит: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике $ABC$ углы $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ лежат против сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Согласно условию, стороны треугольника соотносятся как $AB > AC > BC$.

Из неравенства $AB > AC$ следует, что угол, лежащий против стороны $AB$ ($\angle C$), больше угла, лежащего против стороны $AC$ ($\angle B$). Таким образом, $\angle C > \angle B$.

Из неравенства $AC > BC$ следует, что угол, лежащий против стороны $AC$ ($\angle B$), больше угла, лежащего против стороны $BC$ ($\angle A$). Таким образом, $\angle B > \angle A$.

Объединив эти два неравенства, получаем итоговое соотношение для углов треугольника: $\angle C > \angle B > \angle A$.

Ответ: $\angle C > \angle B > \angle A$.

2)

По условию даны следующие соотношения для сторон треугольника $ABC$: $AB = BC$ и $BC > AC$.

Используем ту же теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Из равенства сторон $AB = BC$ следует, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. Углы, противолежащие этим сторонам, равны. Угол, лежащий против стороны $AB$, — это $\angle C$. Угол, лежащий против стороны $BC$, — это $\angle A$. Следовательно, $\angle A = \angle C$.

Из неравенства $BC > AC$ следует, что угол, лежащий против стороны $BC$ ($\angle A$), больше угла, лежащего против стороны $AC$ ($\angle B$). Таким образом, $\angle A > \angle B$.

Объединяя полученные результаты ($\angle A = \angle C$ и $\angle A > \angle B$), мы можем записать окончательное соотношение для углов: $\angle A = \angle C > \angle B$.

Ответ: $\angle A = \angle C > \angle B$.

459. В прямоугольном треугольнике МКС известно, что $\angle M=90^\circ$, $\angle C=60^\circ$, $CM = 7$ см. Найдите гипотенузу $CK$.

460. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 34^\circ$, $\angle B = 28^\circ$. Сравните стороны $AB$, $BC$ и $AC$.

Для того чтобы сравнить стороны треугольника, нужно сравнить его углы. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего — меньшая.

Дано, что $\angle A = 34^\circ$ и $\angle B = 28^\circ$. Найдем третий угол треугольника, $\angle C$, зная, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

$\angle C = 180^\circ - (34^\circ + 28^\circ) = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$

Теперь у нас есть все три угла: $\angle A = 34^\circ$, $\angle B = 28^\circ$, $\angle C = 118^\circ$.

Сравним величины этих углов:

$28^\circ < 34^\circ < 118^\circ$

Следовательно, $\angle B < \angle A < \angle C$.

Теперь сопоставим каждому углу противолежащую ему сторону:

- Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.
- Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$.
- Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$.

Так как $\angle B$ — наименьший угол, то противолежащая ему сторона $AC$ — наименьшая.

Так как $\angle C$ — наибольший угол, то противолежащая ему сторона $AB$ — наибольшая.

Соответственно, стороны треугольника в порядке возрастания их длин располагаются так: $AC, BC, AB$.

$AC < BC < AB$

Ответ: $AC < BC < AB$.

460. В равностороннем треугольнике $ABC$ точка $D$ – середина стороны $AB$. Из этой точки опущен перпендикуляр $DE$ на сторону $AC$. Найдите отрезки, на которые точка $E$ разбивает отрезок $AC$, если сторона данного треугольника равна 16 см.

461. Сравните стороны треугольника $ABC$, если:

1) $\angle C > \angle A > \angle B$;

2) $\angle B > \angle C, \angle A = \angle B$.

1)

Для сравнения сторон треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

По условию задано соотношение углов: $∠C > ∠A > ∠B$.

В треугольнике $ABC$ стороны расположены напротив углов следующим образом:
- сторона $AB$ лежит напротив угла $C$;
- сторона $BC$ лежит напротив угла $A$;
- сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.

Применяя теорему, из неравенства $∠C > ∠A$ следует, что сторона, лежащая напротив угла $C$ (сторона $AB$), больше стороны, лежащей напротив угла $A$ (стороны $BC$). Таким образом, $AB > BC$.

Аналогично, из неравенства $∠A > ∠B$ следует, что сторона $BC$ больше стороны $AC$. Таким образом, $BC > AC$.

Объединив полученные неравенства, мы получаем итоговое соотношение для сторон треугольника: $AB > BC > AC$.

Ответ: $AB > BC > AC$.

2)

В этом пункте даны два условия: $∠B > ∠C$ и $∠A = ∠B$.

Из этих условий мы можем составить общее соотношение для всех углов треугольника. Так как $∠A = ∠B$, мы можем подставить $∠A$ в неравенство и получить $∠A > ∠C$. Таким образом, полное соотношение углов выглядит так: $∠A = ∠B > ∠C$.

Теперь снова применим теорему о соотношении сторон и углов треугольника.

Из равенства $∠A = ∠B$ следует, что стороны, лежащие напротив этих углов, равны. Сторона напротив угла $A$ — это $BC$, а напротив угла $B$ — это $AC$. Следовательно, $BC = AC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Из неравенства $∠B > ∠C$ следует, что сторона, лежащая напротив угла $B$ (сторона $AC$), больше стороны, лежащей напротив угла $C$ (стороны $AB$). Таким образом, $AC > AB$.

Объединив полученные результаты ($BC = AC$ и $AC > AB$), мы получаем итоговое соотношение для сторон: $BC = AC > AB$.

Ответ: $BC = AC > AB$.

461. Один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, а разность гипотенузы и меньшего катета – 5 см. Найдите эти стороны треугольника.

462. Периметр треугольника равен $30 \text{ см}$. Может ли одна из его сторон быть равной:

1) $20 \text{ см}$?

2) $15 \text{ см}$?

Для решения этой задачи используется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Пусть стороны треугольника — $a$, $b$ и $c$. Тогда должны выполняться следующие условия:

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Из этого правила следует важное следствие: любая сторона треугольника должна быть меньше половины его периметра. Периметр $P = a + b + c$. Так как $b + c > a$, то, прибавив $a$ к обеим частям, получим $a + b + c > 2a$, или $P > 2a$, откуда $a < P/2$.

В данной задаче периметр $P = 30$ см. Следовательно, любая сторона этого треугольника должна быть строго меньше $30 / 2 = 15$ см.

Теперь рассмотрим предложенные варианты.

1)

Может ли одна из сторон быть равной 20 см? Согласно выведенному правилу, любая сторона должна быть меньше 15 см. Так как $20 \text{ см} > 15 \text{ см}$, то сторона треугольника не может быть равна 20 см.

Если проверить это с помощью основного неравенства треугольника: пусть одна сторона равна 20 см. Тогда сумма двух других сторон равна $30 - 20 = 10$ см. Сумма двух сторон (10 см) оказывается меньше третьей стороны (20 см), что нарушает неравенство треугольника. Следовательно, такой треугольник не существует.

Ответ: нет, не может.

2)

Может ли одна из сторон быть равной 15 см? Согласно правилу, любая сторона должна быть строго меньше 15 см. Сторона длиной 15 см не удовлетворяет этому условию ($15 \not< 15$).

Если проверить с помощью основного неравенства: пусть одна сторона равна 15 см. Тогда сумма двух других сторон также равна $30 - 15 = 15$ см. В этом случае сумма двух сторон не больше третьей стороны, а равна ей. Это нарушает строгое неравенство треугольника. Такой случай соответствует вырожденному треугольнику, у которого все вершины лежат на одной прямой, а не полноценному треугольнику.

Ответ: нет, не может.

462. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $CK$ – высота, $AC = 10$ см. Найдите отрезок $BK$.

463. Длины двух сторон треугольника равны 7 см и 9 см. Может ли периметр этого треугольника быть равным:

1) 20 см?

2) 32 см?

3) 18 см?

Для решения этой задачи воспользуемся правилом, известным как неравенство треугольника: любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других его сторон.

Пусть даны две стороны треугольника: $a = 7$ см и $b = 9$ см. Обозначим третью, неизвестную сторону как $c$.

Согласно неравенству треугольника, должны выполняться три условия:

1. $c < a + b$
2. $a < c + b$
3. $b < c + a$

Подставим известные значения:

1. $c < 7 + 9 \implies c < 16$
2. $7 < c + 9 \implies c > 7 - 9 \implies c > -2$. Это условие всегда выполняется, так как длина стороны положительна.
3. $9 < c + 7 \implies c > 9 - 7 \implies c > 2$

Объединив условия, получаем, что длина третьей стороны $c$ должна находиться в интервале от 2 см до 16 см (не включая концы):

$2 < c < 16$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c = 7 + 9 + c = 16 + c$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов периметра.

1) 20 см

Если периметр $P = 20$ см, найдем длину третьей стороны $c$:

$c = P - (a + b) = 20 - (7 + 9) = 20 - 16 = 4$ см.

Полученное значение $c = 4$ см удовлетворяет условию $2 < 4 < 16$. Следовательно, такой треугольник может существовать.

Ответ: да, может.

2) 32 см

Если периметр $P = 32$ см, найдем длину третьей стороны $c$:

$c = P - (a + b) = 32 - (7 + 9) = 32 - 16 = 16$ см.

Полученное значение $c = 16$ см не удовлетворяет условию $c < 16$. В этом случае сумма двух сторон ($7+9$) равна третьей стороне ($16$), и треугольник "вырождается" в прямую линию.

Ответ: нет, не может.

3) 18 см

Если периметр $P = 18$ см, найдем длину третьей стороны $c$:

$c = P - (a + b) = 18 - (7 + 9) = 18 - 16 = 2$ см.

Полученное значение $c = 2$ см не удовлетворяет условию $c > 2$. В этом случае сумма двух сторон ($7+2$) равна третьей стороне ($9$), и треугольник также "вырождается" в прямую линию.

Ответ: нет, не может.

463. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $CD$ – высота, $BD = 7$ см. Найдите гипотенузу $AB$.

464. Две стороны равнобедренного треугольника равны 7 см и 15 см. Найдите периметр треугольника.

По условию задачи, треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Даны две стороны длиной 7 см и 15 см. Это означает, что возможны два варианта для длин сторон треугольника.

Рассмотрим первый возможный случай: боковые стороны равны 7 см, а основание — 15 см. Таким образом, стороны треугольника имеют длины 7 см, 7 см и 15 см. Для того чтобы треугольник мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Проверим это условие:
$7 + 7 > 15$
$14 > 15$
Данное неравенство является ложным, поскольку 14 меньше 15. Следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Рассмотрим второй возможный случай: боковые стороны равны 15 см, а основание — 7 см. В этом случае стороны треугольника равны 15 см, 15 см и 7 см. Снова проверим неравенство треугольника:
$15 + 15 > 7$ (что верно, так как $30 > 7$)
$15 + 7 > 15$ (что верно, так как $22 > 15$)
Неравенство треугольника выполняется, значит, такой треугольник существует.

Теперь мы можем найти периметр этого треугольника. Периметр ($P$) — это сумма длин всех его сторон.
$P = 15 \text{ см} + 15 \text{ см} + 7 \text{ см} = 37 \text{ см}$.

Ответ: 37 см.

464. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $CK$ – высота, $CK = 7$ см, $AC = 14$ см. Найдите $\angle B$.