Страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

438. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $BD = BC$, $\angle ACD = 15^\circ$, $\angle DCB = 40^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Найдем угол $C$ треугольника $ABC$. Он равен сумме углов $\angle ACD$ и $\angle DCB$, которые даны в условии:
$\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = 15^\circ + 40^\circ = 55^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По условию, стороны $BD$ и $BC$ равны, следовательно, треугольник $BCD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Это углы $\angle BDC$ (противолежащий стороне $BC$) и $\angle BCD$ (противолежащий стороне $BD$).
Значит, $\angle BDC = \angle BCD$.
Так как по условию $\angle BCD = 40^\circ$, то и $\angle BDC = 40^\circ$.

Зная два угла треугольника $BCD$, мы можем найти третий угол $\angle CBD$. Этот угол является углом $B$ исходного треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle ABC = \angle CBD = 180^\circ - (\angle BCD + \angle BDC) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Наконец, найдем угол $A$ треугольника $ABC$. Мы уже знаем два других его угла: $\angle C = 55^\circ$ и $\angle B = 100^\circ$.
$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (100^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$.

Ответ: $\angle A = 25^\circ$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle C = 55^\circ$.

438. Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.

439. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельная биссектрисе AM треугольника и пересекающая прямую AB в точке K. Найдите углы треугольника AKC, если $\angle BAC = 70^\circ$.

По условию задачи, $AM$ является биссектрисой угла $∠BAC$, который равен $70°$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$∠BAM = ∠MAC = \frac{∠BAC}{2} = \frac{70°}{2} = 35°$.

Через вершину $C$ проведена прямая $KC$, параллельная биссектрисе $AM$ ($KC \parallel AM$), которая пересекает прямую $AB$ в точке $K$.

Рассмотрим параллельные прямые $AM$ и $KC$ и секущую $AC$. Углы $∠MAC$ и $∠ACK$ являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку прямые параллельны, эти углы равны:

$∠ACK = ∠MAC = 35°$.

Теперь определим положение точки $K$ на прямой $AB$. Если бы точка $K$ лежала на продолжении отрезка $AB$ за точкой $B$, то угол $∠KAC$ совпадал бы с углом $∠BAC$ и был бы равен $70°$. Углы $∠BAM$ и $∠AKC$ были бы соответственными при параллельных прямых $AM$ и $KC$ и секущей $AK$, значит $∠AKC = ∠BAM = 35°$. Тогда сумма углов в треугольнике $AKC$ была бы $70° + 35° + 35° = 140°$, что невозможно, так как сумма углов любого треугольника равна $180°$.

Следовательно, точка $A$ лежит между точками $K$ и $B$. Это означает, что углы $∠KAC$ и $∠BAC$ являются смежными, и их сумма равна $180°$.

$∠KAC + ∠BAC = 180°$

$∠KAC = 180° - ∠BAC = 180° - 70° = 110°$.

Теперь мы знаем два угла треугольника $AKC$: $∠KAC = 110°$ и $∠ACK = 35°$. Третий угол $∠AKC$ найдем из теоремы о сумме углов треугольника:

$∠AKC = 180° - (∠KAC + ∠ACK) = 180° - (110° + 35°) = 180° - 145° = 35°$.

Итак, углы треугольника $AKC$ равны $110°$, $35°$ и $35°$.

Ответ: Углы треугольника $AKC$: $∠KAC = 110°$, $∠AKC = 35°$, $∠ACK = 35°$.

439. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.

440. На рисунке 287 $BC \parallel AD$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle ACD = 95^\circ$, $\angle D = 45^\circ$. Докажите, что $AB = BC$.

Рис. 287

Для того чтобы доказать, что $AB = BC$, мы докажем, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Для этого необходимо показать, что углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

1. Рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Используя известные значения углов $\angle ACD = 95^\circ$ и $\angle D = 45^\circ$, найдем угол $CAD$:

$\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle D = 180^\circ - 95^\circ - 45^\circ = 40^\circ$.

2. По условию задачи прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а отрезок $AC$ является секущей. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. Следовательно:

$\angle BCA = \angle CAD = 40^\circ$.

3. Теперь найдем величину угла $BAC$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $ABCD$ справедливо равенство:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Представим углы $A$ и $C$ как суммы их составляющих частей:

$\angle A = \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

$\angle C = \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$

Подставим все известные значения в уравнение суммы углов четырехугольника:

$(\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle ACD) + \angle D = 360^\circ$

$(\angle BAC + 40^\circ) + 100^\circ + (40^\circ + 95^\circ) + 45^\circ = 360^\circ$

$\angle BAC + 40^\circ + 100^\circ + 135^\circ + 45^\circ = 360^\circ$

$\angle BAC + 320^\circ = 360^\circ$

$\angle BAC = 360^\circ - 320^\circ = 40^\circ$.

4. Итак, в треугольнике $ABC$ мы определили, что $\angle BAC = 40^\circ$ и $\angle BCA = 40^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AB = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: В ходе решения было установлено, что в треугольнике $ABC$ углы $\angle BAC = 40^\circ$ и $\angle BCA = 40^\circ$. Так как углы при основании $AC$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и, следовательно, стороны $AB$ и $BC$ равны.

440. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.

441. В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите $\angle AOC$, если $\angle B = 100^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

По условию задачи $\angle B = 100^\circ$. Найдем сумму углов $A$ и $C$:
$\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

$AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно. Это означает, что они делят эти углы пополам. Рассмотрим треугольник $AOC$. Углы $\angle OAC$ и $\angle OCA$ в этом треугольнике равны:
$\angle OAC = \frac{1}{2}\angle A$
$\angle OCA = \frac{1}{2}\angle C$

Сумма углов в треугольнике $AOC$ также равна $180^\circ$:
$\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$:
$\angle AOC + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$
$\angle AOC + \frac{1}{2}(\angle A + \angle C) = 180^\circ$.

Так как мы уже нашли, что $\angle A + \angle C = 80^\circ$, подставим это значение в уравнение:
$\angle AOC + \frac{1}{2}(80^\circ) = 180^\circ$
$\angle AOC + 40^\circ = 180^\circ$
$\angle AOC = 180^\circ - 40^\circ$
$\angle AOC = 140^\circ$.

Ответ: $140^\circ$.

441. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведённой из вершины прямого угла.

442. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим внешний угол при вершине $B$. Для этого продлим сторону $CB$ за точку $B$ и получим точку $D$. Внешний угол при вершине $B$ — это угол $\angle ABD$.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ABD = \angle BAC + \angle BCA$

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то можно записать:

$\angle ABD = \angle BAC + \angle BAC = 2 \cdot \angle BAC$

Проведем биссектрису $BE$ внешнего угла $\angle ABD$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABD$

Подставим в это равенство выражение для $\angle ABD$:

$\angle ABE = \frac{1}{2} (2 \cdot \angle BAC) = \angle BAC$

Теперь рассмотрим прямые $BE$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle ABE$ и $\angle BAC$ являются накрест лежащими. Поскольку мы доказали, что $\angle ABE = \angle BAC$, то по признаку параллельности прямых (если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны), прямая $BE$ параллельна прямой $AC$.

Таким образом, биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.

Ответ: Утверждение доказано.

442. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прилежащего к этому катету острого угла.

443. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. Продлим сторону $CA$ за вершину $A$ до точки $D$. Угол $\angle DAB$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $A$.

Проведем биссектрису $AE$ этого внешнего угла. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle DAB$ на два равных угла:

$\angle DAE = \angle EAB$ (1)

По условию задачи, биссектриса $AE$ параллельна стороне $BC$ треугольника, то есть $AE \parallel BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $AE$ и $BC$ и пересекающие их секущие.

Секущая $AB$ образует с параллельными прямыми равные накрест лежащие углы: $\angle EAB = \angle ABC$ (2).

Секущая $DC$ (содержащая сторону $AC$) образует с параллельными прямыми равные соответственные углы: $\angle DAE = \angle ACB$ (3).

Сопоставив равенства (1), (2) и (3), мы получаем: $\angle ABC = \angle EAB = \angle DAE = \angle ACB$.

Отсюда следует, что в треугольнике $ABC$ два угла равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. В данном случае, так как углы при основании $BC$ равны, то противолежащие им стороны равны: $AB = AC$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

443. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведённой к другому катету.

444. Угол при основании AC равнобедренного треугольника ABC в 2 раза больше угла при вершине, отрезок AM — биссектриса треугольника.

Докажите, что $BM = AC$.

Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$, $AC$ — основание.
$\angle BAC = \angle BCA = 2 \cdot \angle ABC$.
$AM$ — биссектриса $\angle BAC$.
Доказать: $BM = AC$.

Доказательство:

1. Найдем углы треугольника $ABC$.
Пусть $\angle ABC = x$. Тогда по условию углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = 2x$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$
$x + 2x + 2x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = 36^\circ$
Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны:
$\angle ABC = 36^\circ$
$\angle BAC = \angle BCA = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

2. Рассмотрим биссектрису $AM$.
Так как $AM$ — биссектриса угла $\angle BAC$, она делит его пополам:
$\angle BAM = \angle CAM = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$

3. Рассмотрим треугольник $ABM$.
В этом треугольнике мы знаем два угла:
$\angle ABM = \angle ABC = 36^\circ$
$\angle BAM = 36^\circ$
Поскольку углы при стороне $AB$ равны ($\angle ABM = \angle BAM$), треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $BM = AM$.

4. Рассмотрим треугольник $AMC$.
В этом треугольнике мы знаем два угла:
$\angle CAM = 36^\circ$
$\angle ACM = \angle BCA = 72^\circ$
Найдем третий угол $\angle AMC$:
$\angle AMC = 180^\circ - (\angle CAM + \angle ACM) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$
Поскольку углы при стороне $MC$ равны ($\angle ACM = \angle AMC = 72^\circ$), треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $MC$. Следовательно, стороны, противолежащие равным углам, равны: $AC = AM$.

5. Сведем полученные результаты.
Из пункта 3 мы получили, что $BM = AM$.
Из пункта 4 мы получили, что $AC = AM$.
Так как обе величины, $BM$ и $AC$, равны одной и той же величине $AM$, то они равны между собой: $BM = AC$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BM = AC$ доказано.

444. Докажите, что в равных треугольниках высоты, опущенные на соответственно равные стороны, равны.

445. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. На стороне $BC$ отметили точку $M$ так, что $BM = AM = AC$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ углы при основании равны $\alpha$. Таким образом, $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию задачи дано, что $AM = AC$. Это означает, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $MC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle AMC = \angle ACM$. Так как $\angle ACM$ это тот же угол, что и $\angle BCA$, то $\angle AMC = \alpha$. Тогда третий угол этого треугольника, $\angle MAC$, можно найти из суммы углов треугольника: $\angle MAC = 180^\circ - (\angle AMC + \angle ACM) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMB$. По условию $BM = AM$, значит, треугольник $AMB$ также является равнобедренным, но с основанием $AB$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle BAM = \angle ABM$.

Угол $\angle ABM$ совпадает с углом $\angle ABC$ исходного треугольника, поэтому $\angle ABM = 180^\circ - 2\alpha$. Отсюда получаем, что $\angle BAM = 180^\circ - 2\alpha$.

Угол $\angle BAC$ является суммой углов $\angle BAM$ и $\angle MAC$. Мы можем выразить $\angle BAM$ через известные нам величины: $\angle BAM = \angle BAC - \angle MAC$. Подставим выражения для этих углов через $\alpha$: $\angle BAM = \alpha - (180^\circ - 2\alpha) = \alpha - 180^\circ + 2\alpha = 3\alpha - 180^\circ$.

Мы получили два разных выражения для одного и того же угла $\angle BAM$. Приравняем их, чтобы составить уравнение и найти $\alpha$: $180^\circ - 2\alpha = 3\alpha - 180^\circ$ $180^\circ + 180^\circ = 3\alpha + 2\alpha$ $360^\circ = 5\alpha$ $\alpha = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

Зная значение $\alpha$, мы можем найти все углы треугольника $ABC$: Углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha = 72^\circ$. Угол при вершине: $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 72^\circ = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

445. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и двум высотам, проведённым из концов этой стороны.

446. Докажите, что в любом треугольнике существует угол:

1) не меньше $60^{\circ}$;

2) не больше $60^{\circ}$.

1) не меньше 60°

Доказательство проведём методом от противного. Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Предположим обратное: в треугольнике все углы строго меньше $60^\circ$. Это можно записать в виде системы неравенств:

$\alpha < 60^\circ$

$\beta < 60^\circ$

$\gamma < 60^\circ$

Если сложить эти три неравенства, мы получим:

$\alpha + \beta + \gamma < 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ$

$\alpha + \beta + \gamma < 180^\circ$

Это утверждение вступает в противоречие с тем фактом, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Таким образом, в любом треугольнике должен существовать по крайней мере один угол, который не меньше $60^\circ$ (то есть $\ge 60^\circ$). Что и требовалось доказать.

Ответ:

2) не больше 60°

Доказательство для этого случая также проведём методом от противного. Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, и их сумма, как известно, составляет $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Предположим обратное: в треугольнике все углы строго больше $60^\circ$. Запишем это в виде системы неравенств:

$\alpha > 60^\circ$

$\beta > 60^\circ$

$\gamma > 60^\circ$

Сложив эти три неравенства, мы получим:

$\alpha + \beta + \gamma > 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ$

$\alpha + \beta + \gamma > 180^\circ$

Это утверждение также противоречит теореме о сумме углов треугольника. Следовательно, наше предположение было неверным. Таким образом, в любом треугольнике должен существовать по крайней мере один угол, который не больше $60^\circ$ (то есть $\le 60^\circ$). Что и требовалось доказать.

Ответ:

446. Докажите равенство треугольников по стороне и проведённым к ней медиане и высоте.

447. Определите вид треугольника, если:

1) один из его углов больше суммы двух других;

2) любой из его углов меньше суммы двух других.

1) один из его углов больше суммы двух других;

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

По условию задачи, один из углов, например $\alpha$, больше суммы двух других: $\alpha > \beta + \gamma$.

Из формулы суммы углов мы можем выразить сумму $\beta + \gamma$: $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$.

Теперь подставим это выражение в наше неравенство: $\alpha > 180^\circ - \alpha$.

Прибавим $\alpha$ к обеим частям неравенства: $2\alpha > 180^\circ$.

Разделим обе части на 2: $\alpha > 90^\circ$.

Так как один из углов треугольника ($\alpha$) больше $90^\circ$, то такой треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный треугольник.

2) любой из его углов меньше суммы двух других.

Снова используем обозначения углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и их сумму $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

По условию, каждый угол меньше суммы двух других. Запишем это в виде системы из трех неравенств:
1. $\alpha < \beta + \gamma$
2. $\beta < \alpha + \gamma$
3. $\gamma < \alpha + \beta$

Рассмотрим первое неравенство $\alpha < \beta + \gamma$. Заменим сумму $\beta + \gamma$ на выражение $180^\circ - \alpha$: $\alpha < 180^\circ - \alpha$.

Решим это неравенство: $2\alpha < 180^\circ$ $\alpha < 90^\circ$.

Проведя аналогичные преобразования для двух других неравенств, мы получим, что $\beta < 90^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника меньше $90^\circ$, то есть являются острыми, такой треугольник называется остроугольным.

Ответ: остроугольный треугольник.

447. Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $M$ и $K$, являющихся серединами этих сторон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$.

448. Определите вид треугольника, если сумма любых двух его углов больше $90^\circ$.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Это можно записать в виде формулы: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Из этой формулы можно выразить сумму любых двух углов через третий угол:

$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$
$\alpha + \gamma = 180^\circ - \beta$
$\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$

Согласно условию задачи, сумма любых двух углов этого треугольника больше $90^\circ$. Запишем это в виде системы неравенств:

1) $\alpha + \beta > 90^\circ$
2) $\alpha + \gamma > 90^\circ$
3) $\beta + \gamma > 90^\circ$

Теперь подставим в каждое неравенство соответствующее выражение для суммы углов, чтобы найти ограничение для каждого угла в отдельности.

Для первого неравенства: $180^\circ - \gamma > 90^\circ$
Вычитая $90^\circ$ из обеих частей и прибавляя $\gamma$ к обеим частям, получаем:
$180^\circ - 90^\circ > \gamma$
$90^\circ > \gamma$, что то же самое, что и $\gamma < 90^\circ$.

Для второго неравенства: $180^\circ - \beta > 90^\circ$
Проводя аналогичные преобразования, получаем:
$180^\circ - 90^\circ > \beta$
$90^\circ > \beta$, или $\beta < 90^\circ$.

Для третьего неравенства: $180^\circ - \alpha > 90^\circ$
И снова, проводя те же преобразования, получаем:
$180^\circ - 90^\circ > \alpha$
$90^\circ > \alpha$, или $\alpha < 90^\circ$.

Таким образом, мы установили, что все три угла треугольника ($\alpha, \beta, \gamma$) меньше $90^\circ$. Треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше $90^\circ$), по определению является остроугольным.

Ответ: Треугольник остроугольный.

448. Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$. Докажите, что точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

449. Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что такой треугольник существует. Обозначим этот треугольник как $ABC$, а его углы при вершинах как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $I$. По условию задачи, эти биссектрисы перпендикулярны, что означает, что угол при их пересечении равен $90^{\circ}$, то есть $\angle AIB = 90^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $AIB$. По определению биссектрисы, углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половине соответствующих углов исходного треугольника: $\angle IAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle IBA = \frac{\angle B}{2}$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $AIB$ это можно записать в виде уравнения:
$\angle IAB + \angle IBA + \angle AIB = 180^{\circ}$

Подставим известные значения в это уравнение:
$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти сумму углов $\angle A$ и $\angle B$:
$\frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^{\circ} - 90^{\circ}$
$\frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^{\circ}$
$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$

С другой стороны, сумма всех углов в исходном треугольнике $ABC$ также должна быть равна $180^{\circ}$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$

Подставив в это равенство найденное нами значение суммы $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$, получаем:
$180^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
Из этого следует, что $\angle C = 0^{\circ}$.

Угол треугольника не может быть равен нулю. Если бы один из углов был равен $0^{\circ}$, то все три вершины лежали бы на одной прямой, и фигура не являлась бы треугольником. Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение о существовании треугольника с двумя перпендикулярными биссектрисами было неверным.

Ответ: Нет, такого треугольника не существует.

449. Высоты AM и СК треугольника ABC пересекаются в точке H, $HK = HM$. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

450. Существует ли треугольник, в котором одна биссектриса делит пополам другую биссектрису?

Предположим, что такой треугольник $ABC$ существует. Пусть длины его сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, равны $a, b, c$ соответственно. Пусть $AA_1$ — биссектриса угла $A$ (точка $A_1$ лежит на стороне $BC$), а $BB_1$ — биссектриса угла $B$ (точка $B_1$ лежит на стороне $AC$).

Допустим, биссектриса $AA_1$ делит биссектрису $BB_1$ пополам. Обозначим точку их пересечения через $O$. По условию, точка $O$ является серединой отрезка $BB_1$, то есть $BO = OB_1$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $B_1AB$ (так как $AA_1$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$). По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применительно к треугольнику $ABB_1$ и биссектрисе $AO$ это свойство записывается так:

$$ \frac{AB}{AB_1} = \frac{BO}{OB_1} $$

По нашему предположению, $BO = OB_1$, следовательно, отношение $\frac{BO}{OB_1} = 1$. Подставив это в формулу, получаем:

$$ \frac{AB}{AB_1} = 1 \implies AB = AB_1 $$

Теперь рассмотрим исходный треугольник $ABC$ и его биссектрису $BB_1$. По свойству биссектрисы, она делит сторону $AC$ в отношении, равном отношению двух других сторон:

$$ \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{BC} $$

Используя обозначения длин сторон ($AB=c$, $BC=a$), получим:

$$ \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{c}{a} $$

Из ранее полученного равенства $AB = AB_1$ следует, что $AB_1 = c$. Подставим это значение в пропорцию:

$$ \frac{c}{B_1C} = \frac{c}{a} $$

Так как $c$ — длина стороны треугольника, $c \ne 0$. Мы можем сократить на $c$, что дает $B_1C = a$.

Точка $B_1$ лежит на стороне $AC$. Длина стороны $AC$ равна сумме длин ее частей $AB_1$ и $B_1C$. В наших обозначениях это $AC = b$. Таким образом, мы приходим к равенству:

$$ AC = AB_1 + B_1C \implies b = c + a $$

Теперь необходимо проверить, может ли существовать треугольник со сторонами $a, b, c$, которые удовлетворяют этому условию. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. В частности, для сторон $a, c$ и $b$ должно выполняться неравенство:

$$ a + c > b $$

Полученное нами условие $a + c = b$ противоречит этому фундаментальному свойству треугольника. Равенство $a + c = b$ выполняется только для вырожденного треугольника, у которого все три вершины лежат на одной прямой. Такой объект не является треугольником в общепринятом смысле.

Таким образом, наше начальное предположение было неверным.

Аналогичные рассуждения для случая, когда биссектриса $BB_1$ делит пополам биссектрису $AA_1$, приводят к условию $a = b + c$, что также противоречит неравенству треугольника $b+c > a$.

Ответ: Нет, такой треугольник не существует.

450. Высоты $ME$ и $NF$ треугольника $MKN$ пересекаются в точке $O$, $OM = ON$, $MF = KE$. Докажите, что треугольник $MKN$ – равносторонний.