Страница 113 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

391. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC. Эта прямая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC в точке K. Докажите, что $MK = AM + CK$.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $AMO$. Поскольку $AE$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle MAO = \angle OAC$. Прямые $MK$ и $AC$ параллельны по условию, а прямая $AO$ — их секущая. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle MOA = \angle OAC$. Таким образом, мы имеем $\angle MAO = \angle MOA$. Это означает, что треугольник $AMO$ является равнобедренным с основанием $AO$, и, следовательно, его боковые стороны равны: $AM = MO$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CKO$. Поскольку $CF$ является биссектрисой угла $C$, то $\angle KCO = \angle OCA$. Прямые $MK$ и $AC$ параллельны, а прямая $CO$ — их секущая. Отсюда следует равенство накрест лежащих углов: $\angle KOC = \angle OCA$. Таким образом, мы получаем, что $\angle KCO = \angle KOC$. Это означает, что треугольник $CKO$ является равнобедренным с основанием $CO$, и, следовательно, $CK = KO$.

Длина отрезка $MK$ равна сумме длин составляющих его отрезков: $MK = MO + OK$. Заменив в этом равенстве $MO$ на $AM$ и $OK$ на $CK$ на основании доказанного выше, получаем: $MK = AM + CK$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MK = AM + CK$ доказано.

391. Длины двух сторон треугольника равны $7 \text{ см}$ и $9 \text{ см}$. Может ли периметр этого треугольника быть равным:

1) $20 \text{ см}$;

2) $32 \text{ см}$;

3) $18 \text{ см}$?

392. Биссектрисы углов $BAC$ и $BCA$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым $AB$ и $BC$ и пересекающие сторону $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $MOK$ равен длине стороны $AC$.

Доказательство:

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AO$ и $CO$ углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Через точку их пересечения $O$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Также через точку $O$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Таким образом, мы имеем $OM \parallel AB$ и $OK \parallel BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $OM$ и $AB$ и секущую $AO$. Углы $\angle BAO$ и $\angle MOA$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle BAO = \angle MOA$. Поскольку $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, она делит этот угол пополам: $\angle BAO = \angle OAM$. Из двух этих равенств следует, что $\angle MOA = \angle OAM$. В треугольнике $AMO$ два угла равны, следовательно, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AO$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, поэтому $AM = MO$.

Аналогично рассмотрим параллельные прямые $OK$ и $BC$ и секущую $CO$. Углы $\angle BCO$ и $\angle KOC$ являются накрест лежащими, поэтому $\angle BCO = \angle KOC$. Поскольку $CO$ является биссектрисой угла $\angle BCA$, то $\angle BCO = \angle OCK$. Следовательно, $\angle KOC = \angle OCK$. Таким образом, треугольник $CKO$ также является равнобедренным с основанием $CO$. Отсюда следует равенство сторон: $KC = OK$.

Периметр треугольника $MOK$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle MOK} = MO + OK + MK$. Используя доказанные выше равенства ($MO = AM$ и $OK = KC$), мы можем подставить их в формулу периметра: $P_{\triangle MOK} = AM + KC + MK$.

Точки $M$ и $K$ лежат на стороне $AC$, поэтому длина стороны $AC$ может быть представлена как сумма длин отрезков: $AC = AM + MK + KC$. Сравнивая выражение для периметра треугольника $MOK$ с выражением для длины стороны $AC$, мы видим, что они идентичны: $P_{\triangle MOK} = AM + MK + KC = AC$.

Таким образом, доказано, что периметр треугольника $MOK$ равен длине стороны $AC$.

Ответ: Периметр треугольника $MOK$ равен длине стороны $AC$, что и требовалось доказать.

392. Существует ли треугольник, одна из сторон которого на 2 см меньше второй и на 6 см меньше третьей, а периметр равен 20 см?

393. На отрезке $AB$ отметили точку $C$ так, что $AC : BC = 2 : 1$. На отрезке $AC$ отметили точку $D$ так, что $AD : CD = 3 : 2$. В каком отношении точка $D$ делит отрезок $AB$?

Для решения задачи представим длины отрезков через переменную. Пусть длина отрезка $BC$ равна $x$.

Из условия $AC : BC = 2 : 1$ следует, что длина отрезка $AC$ в два раза больше длины отрезка $BC$. Таким образом, $AC = 2x$.

Длина всего отрезка $AB$ является суммой длин отрезков $AC$ и $BC$:

$AB = AC + BC = 2x + x = 3x$.

Далее, на отрезке $AC$ отмечена точка $D$ так, что $AD : CD = 3 : 2$. Это означает, что отрезок $AC$ можно мысленно разделить на $3 + 2 = 5$ равных частей.

Длина отрезка $AD$ будет составлять $\frac{3}{5}$ от длины отрезка $AC$. Выразим длину $AD$ через $x$:

$AD = \frac{3}{5} \cdot AC = \frac{3}{5} \cdot (2x) = \frac{6x}{5}$.

Чтобы определить, в каком отношении точка $D$ делит отрезок $AB$, нам нужно найти отношение длин отрезков $AD$ и $DB$. Длину отрезка $DB$ можно найти как разность длин отрезков $AB$ и $AD$:

$DB = AB - AD = 3x - \frac{6x}{5} = \frac{15x}{5} - \frac{6x}{5} = \frac{9x}{5}$.

Теперь можем составить искомое отношение $AD : DB$:

$AD : DB = \frac{6x}{5} : \frac{9x}{5}$.

Чтобы упростить это отношение, можно умножить обе его части на 5 и разделить на $x$ (так как $x$ - это длина, $x \neq 0$):

$6 : 9$.

Сократим полученное отношение, разделив обе части на их наибольший общий делитель, равный 3:

$2 : 3$.

Таким образом, точка $D$ делит отрезок $AB$ в отношении $2 : 3$.

Ответ: $2 : 3$.

393. Биссектрисы углов при основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что угол $AOC$ равен внешнему углу треугольника $ABC$ при вершине $A$.

394. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AB = BC = CD = AD$.

Докажите, что $AC \perp BD$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи его стороны равны: $AB = BC = CD = AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Необходимо доказать, что диагонали перпендикулярны.

Доказательство можно провести, используя свойства равнобедренных треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. У них:
- Сторона $AB$ равна стороне $AD$ (по условию).
- Сторона $BC$ равна стороне $DC$ (по условию).
- Сторона $AC$ является общей.
Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAC = \angle DAC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$.
- Так как $AB = AD$ по условию, то треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$.
- Отрезок $AO$ (являющийся частью диагонали $AC$) — это биссектриса угла $\angle BAD$, поскольку из пункта 2 мы знаем, что $\angle BAO = \angle DAO$.

4. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также и высотой.
Следовательно, отрезок $AO$ является высотой в треугольнике $\triangle ABD$, проведенной к основанию $BD$.

5. Из определения высоты следует, что $AO \perp BD$. А так как отрезок $AO$ лежит на прямой $AC$, то и вся диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$.

Ответ: Доказано, что $AC \perp BD$.

394. На рисунке 252 $BC \parallel AD$, $\angle A = 25^{\circ}$, $\angle B = 55^{\circ}$. Найдите $\angle CMD$.

Рис. 252

395. В треугольнике $MOE$ на стороне $MO$ отметили точку $A$, в треугольнике $TPK$ на стороне $TP$ – точку $B$ так, что $MA = TB$. Какова градусная мера угла $BKP$, если $MO = TP$, $\angle M = \angle T$, $\angle O = \angle P$, $\angle AEO = 17^\circ$?

Рис. 274

Рассмотрим треугольники $ \triangle MOE $ и $ \triangle TPK $. По условию задачи нам дано, что сторона $ MO $ равна стороне $ TP $, а также прилежащие к ним углы равны: $ \angle M = \angle T $ и $ \angle O = \angle P $. Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle MOE \cong \triangle TPK $.

Из равенства треугольников $ \triangle MOE $ и $ \triangle TPK $ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, сторона $ OE $ равна стороне $ PK $, то есть $ OE = PK $.

Точка $ A $ лежит на стороне $ MO $, поэтому длина отрезка $ MO $ равна сумме длин отрезков $ MA $ и $ AO $: $ MO = MA + AO $. Аналогично, точка $ B $ лежит на стороне $ TP $, поэтому $ TP = TB + BP $. По условию $ MO = TP $ и $ MA = TB $. Запишем равенство длин сторон: $ MA + AO = TB + BP $. Так как $ MA = TB $, мы можем вычесть эти равные величины из обеих частей уравнения, что дает нам $ AO = BP $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle AOE $ и $ \triangle BPK $. Сравним их элементы. Мы уже доказали, что $ AO = BP $ и $ OE = PK $. По условию, угол $ \angle O $ равен углу $ \angle P $. В рассматриваемых треугольниках угол $ \angle O $ — это угол $ \angle AOE $, а угол $ \angle P $ — это угол $ \angle BPK $. Таким образом, в треугольниках $ \triangle AOE $ и $ \triangle BPK $ две стороны и угол между ними соответственно равны ($ AO = BP $, $ OE = PK $, $ \angle AOE = \angle BPK $).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle AOE \cong \triangle BPK $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углу $ \angle AEO $ в треугольнике $ \triangle AOE $ соответствует угол $ \angle BKP $ в треугольнике $ \triangle BPK $. Следовательно, $ \angle BKP = \angle AEO $.

Поскольку по условию $ \angle AEO = 17^\circ $, то и $ \angle BKP = 17^\circ $.

Ответ: $17^\circ$

395. Отрезок $BK$ – биссектриса равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$, $\angle AKB = 105^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Наблюдайте, рисуйте,

конструируйте, фантазируйте

396. На рисунке 274 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Каким образом, отметив

на рисунке любую точку, как можно

быстрее определить, принадлежит эта

точка многоугольнику или нет?

Для того чтобы быстро определить, принадлежит ли любая отмеченная точка многоугольнику, можно использовать простой и эффективный метод, известный как метод трассировки луча или правило четности-нечетности.

Алгоритм действий следующий:
1. Выберите на рисунке любую точку, которую хотите проверить. Обозначим её $P$.
2. Из этой точки $P$ проведите луч — прямую линию, начинающуюся в точке $P$ и уходящую в бесконечность в любом одном направлении. Проще всего провести луч горизонтально (например, вправо) за пределы всего изображения.
3. Аккуратно посчитайте, сколько раз этот луч пересекает стороны замкнутой ломаной линии (границы многоугольника).

После подсчета количества пересечений используется следующее правило:
• Если луч пересекает границу нечетное число раз (1, 3, 5 и т.д.), то точка $P$ находится внутри многоугольника.
• Если луч пересекает границу четное число раз (0, 2, 4 и т.д.), то точка $P$ находится снаружи многоугольника.

Если выбранная точка $P$ лежит прямо на линии, то она принадлежит границе многоугольника. Если при проведении луч попадает точно в вершину многоугольника, для избежания ошибки в подсчете можно просто немного изменить направление луча.

Этот метод основан на том, что при движении изнутри многоугольника наружу (или наоборот) мы всегда пересечем его границу нечетное число раз, а при движении из одной внешней точки в другую — четное.

Ответ: Нужно провести из точки луч в любом направлении и посчитать количество его пересечений со сторонами многоугольника. Если число пересечений нечетное — точка внутри; если число пересечений четное — точка снаружи.

396. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $BD=BC$, $\angle ACD = 15^\circ$, $\angle DCB = 40^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.