Номер 391, страница 113 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 391, страница 113.

391. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC. Эта прямая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC в точке K. Докажите, что $MK = AM + CK$.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $AMO$. Поскольку $AE$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle MAO = \angle OAC$. Прямые $MK$ и $AC$ параллельны по условию, а прямая $AO$ — их секущая. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle MOA = \angle OAC$. Таким образом, мы имеем $\angle MAO = \angle MOA$. Это означает, что треугольник $AMO$ является равнобедренным с основанием $AO$, и, следовательно, его боковые стороны равны: $AM = MO$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CKO$. Поскольку $CF$ является биссектрисой угла $C$, то $\angle KCO = \angle OCA$. Прямые $MK$ и $AC$ параллельны, а прямая $CO$ — их секущая. Отсюда следует равенство накрест лежащих углов: $\angle KOC = \angle OCA$. Таким образом, мы получаем, что $\angle KCO = \angle KOC$. Это означает, что треугольник $CKO$ является равнобедренным с основанием $CO$, и, следовательно, $CK = KO$.

Длина отрезка $MK$ равна сумме длин составляющих его отрезков: $MK = MO + OK$. Заменив в этом равенстве $MO$ на $AM$ и $OK$ на $CK$ на основании доказанного выше, получаем: $MK = AM + CK$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MK = AM + CK$ доказано.

391. Длины двух сторон треугольника равны $7 \text{ см}$ и $9 \text{ см}$. Может ли периметр этого треугольника быть равным:

1) $20 \text{ см}$;

2) $32 \text{ см}$;

3) $18 \text{ см}$?