Номер 1, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 1, страница 115.

1. Чему равна сумма углов треугольника?

1. Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии равна $180^\circ$. Это одна из фундаментальных теорем геометрии.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Через вершину $B$ проведем прямую $d$, параллельную стороне $AC$.

При вершине $B$ образуются три угла: исходный угол треугольника $\angle B$ и два новых угла, которые мы обозначим как $\angle 1$ и $\angle 2$. Эти три угла вместе составляют развернутый угол, так как лежат на прямой $d$. Сумма развернутого угла равна $180^\circ$.

Следовательно, мы можем записать равенство:

$\angle 1 + \angle B + \angle 2 = 180^\circ$

Теперь рассмотрим прямые $d$ и $AC$. По построению они параллельны ($d \parallel AC$).

Сторона $AB$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle 1$ и $\angle A$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны:

$\angle 1 = \angle A$

Сторона $BC$ также является секущей для параллельных прямых $d$ и $AC$. Углы $\angle 2$ и $\angle C$ также являются внутренними накрест лежащими, и поэтому они равны:

$\angle 2 = \angle C$

Теперь подставим полученные равенства ($\angle 1 = \angle A$ и $\angle 2 = \angle C$) в наше первое уравнение ($\angle 1 + \angle B + \angle 2 = 180^\circ$):

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

1. Чему равна сумма углов треугольника?