Номер 4, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 4, страница 115.

4. Как связаны внешний угол треугольника и два угла треугольника, не смежные с ним?

Связь между внешним углом треугольника и двумя внутренними углами, не смежными с ним, определяется теоремой о внешнем угле треугольника.

Согласно этой теореме, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:
Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ равны соответственно $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Продолжим сторону $AC$ за вершину $C$ и получим внешний угол при вершине $C$, обозначим его $\angle BCD$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Внешний угол $\angle BCD$ является смежным с внутренним углом $\angle C$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$ :
$\angle C + \angle BCD = 180^\circ$

Из первого равенства выразим сумму углов, не смежных с внешним углом:
$\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$

Из второго равенства выразим внешний угол:
$\angle BCD = 180^\circ - \angle C$

Поскольку правые части обоих выражений равны, то равны и левые:
$\angle BCD = \angle A + \angle B$

Теорема доказана. Также из этого следует, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Ответ: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

4. Как связаны внешний угол треугольника и два угла треугольника, не смежные с ним?