Номер 2, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 2, страница 115.

2. Какое наименьшее количество острых углов есть в любом треугольнике?

Для решения этой задачи воспользуемся основной теоремой о сумме углов треугольника. Сумма всех трех внутренних углов любого треугольника всегда составляет $180^\circ$.
Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
Рассмотрим, сколько в треугольнике может быть углов, которые не являются острыми (т.е. прямых, равных $90^\circ$, или тупых, больших $90^\circ$).

Предположим, в треугольнике есть два угла, не являющихся острыми. Пусть это углы $\alpha$ и $\beta$.

• Если оба угла прямые, то их сумма $\alpha + \beta = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Тогда на третий угол $\gamma$ остается $180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$, что невозможно для треугольника.
• Если один угол прямой, а другой тупой, то их сумма $\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это противоречит тому, что сумма всех трех углов равна $180^\circ$.
• Если оба угла тупые, то их сумма $\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, что также невозможно.

Из этого следует, что в треугольнике не может быть двух или трех углов, не являющихся острыми. Максимум один угол может быть прямым или тупым. Следовательно, как минимум два других угла обязаны быть острыми.

Проверим это на примерах разных типов треугольников:

• Остроугольный треугольник: по определению все три его угла острые (например, $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$). Количество острых углов — 3.
• Прямоугольный треугольник: один угол равен $90^\circ$. Сумма двух других углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как оба угла положительны, каждый из них меньше $90^\circ$, то есть они острые. Количество острых углов — 2.
• Тупоугольный треугольник: один угол больше $90^\circ$. Сумма двух других углов меньше $90^\circ$. Следовательно, каждый из этих двух углов меньше $90^\circ$, то есть они острые. Количество острых углов — 2.

Таким образом, в любом треугольнике может быть 2 или 3 острых угла. Наименьшее из этих чисел — 2.

Ответ: 2

2. Какое наименьшее количество острых углов есть в любом треугольнике?