Страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равна сумма углов треугольника?

1. Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии равна $180^\circ$. Это одна из фундаментальных теорем геометрии.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Через вершину $B$ проведем прямую $d$, параллельную стороне $AC$.

При вершине $B$ образуются три угла: исходный угол треугольника $\angle B$ и два новых угла, которые мы обозначим как $\angle 1$ и $\angle 2$. Эти три угла вместе составляют развернутый угол, так как лежат на прямой $d$. Сумма развернутого угла равна $180^\circ$.

Следовательно, мы можем записать равенство:

$\angle 1 + \angle B + \angle 2 = 180^\circ$

Теперь рассмотрим прямые $d$ и $AC$. По построению они параллельны ($d \parallel AC$).

Сторона $AB$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle 1$ и $\angle A$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны:

$\angle 1 = \angle A$

Сторона $BC$ также является секущей для параллельных прямых $d$ и $AC$. Углы $\angle 2$ и $\angle C$ также являются внутренними накрест лежащими, и поэтому они равны:

$\angle 2 = \angle C$

Теперь подставим полученные равенства ($\angle 1 = \angle A$ и $\angle 2 = \angle C$) в наше первое уравнение ($\angle 1 + \angle B + \angle 2 = 180^\circ$):

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

1. Чему равна сумма углов треугольника?

2. Какое наименьшее количество острых углов есть в любом треугольнике?

Для решения этой задачи воспользуемся основной теоремой о сумме углов треугольника. Сумма всех трех внутренних углов любого треугольника всегда составляет $180^\circ$.
Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
Рассмотрим, сколько в треугольнике может быть углов, которые не являются острыми (т.е. прямых, равных $90^\circ$, или тупых, больших $90^\circ$).

Предположим, в треугольнике есть два угла, не являющихся острыми. Пусть это углы $\alpha$ и $\beta$.

• Если оба угла прямые, то их сумма $\alpha + \beta = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Тогда на третий угол $\gamma$ остается $180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$, что невозможно для треугольника.
• Если один угол прямой, а другой тупой, то их сумма $\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это противоречит тому, что сумма всех трех углов равна $180^\circ$.
• Если оба угла тупые, то их сумма $\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, что также невозможно.

Из этого следует, что в треугольнике не может быть двух или трех углов, не являющихся острыми. Максимум один угол может быть прямым или тупым. Следовательно, как минимум два других угла обязаны быть острыми.

Проверим это на примерах разных типов треугольников:

• Остроугольный треугольник: по определению все три его угла острые (например, $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$). Количество острых углов — 3.
• Прямоугольный треугольник: один угол равен $90^\circ$. Сумма двух других углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как оба угла положительны, каждый из них меньше $90^\circ$, то есть они острые. Количество острых углов — 2.
• Тупоугольный треугольник: один угол больше $90^\circ$. Сумма двух других углов меньше $90^\circ$. Следовательно, каждый из этих двух углов меньше $90^\circ$, то есть они острые. Количество острых углов — 2.

Таким образом, в любом треугольнике может быть 2 или 3 острых угла. Наименьшее из этих чисел — 2.

Ответ: 2

2. Какое наименьшее количество острых углов есть в любом треугольнике?

3. Какой угол называют внешним углом треугольника?

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. Чтобы его построить, нужно продлить одну из сторон треугольника за эту вершину.

Например, рассмотрим треугольник $ABC$. Если продлить сторону $AC$ за вершину $C$ до точки $D$, то угол $BCD$ будет являться внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$. Этот угол смежен с внутренним углом $ACB$.

Основное свойство внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Для треугольника на рисунке это свойство можно записать в виде формулы:
$∠BCD = ∠BAC + ∠ABC$

Это свойство легко доказать. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$:
$∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°$
Сумма смежных углов (внутреннего $∠ACB$ и внешнего $∠BCD$) также равна $180°$:
$∠ACB + ∠BCD = 180°$
Приравнивая левые части этих равенств, получаем:
$∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = ∠ACB + ∠BCD$
Вычитая $∠ACB$ из обеих частей, получаем требуемое равенство:
$∠BAC + ∠ABC = ∠BCD$

У каждой вершины треугольника можно построить два внешних угла (продлевая одну или другую сторону, образующую вершину). Эти два угла равны, так как являются вертикальными.

Ответ: Внешним углом треугольника называют угол, который является смежным с одним из внутренних углов этого треугольника.

3. Какой угол называют внешним углом треугольника?

4. Как связаны внешний угол треугольника и два угла треугольника, не смежные с ним?

Связь между внешним углом треугольника и двумя внутренними углами, не смежными с ним, определяется теоремой о внешнем угле треугольника.

Согласно этой теореме, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:
Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ равны соответственно $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Продолжим сторону $AC$ за вершину $C$ и получим внешний угол при вершине $C$, обозначим его $\angle BCD$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Внешний угол $\angle BCD$ является смежным с внутренним углом $\angle C$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$ :
$\angle C + \angle BCD = 180^\circ$

Из первого равенства выразим сумму углов, не смежных с внешним углом:
$\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$

Из второго равенства выразим внешний угол:
$\angle BCD = 180^\circ - \angle C$

Поскольку правые части обоих выражений равны, то равны и левые:
$\angle BCD = \angle A + \angle B$

Теорема доказана. Также из этого следует, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Ответ: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

4. Как связаны внешний угол треугольника и два угла треугольника, не смежные с ним?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника и свойством суммы углов треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник, например, $\triangle ABC$. Обозначим его внутренние углы как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Рассмотрим внешний угол при вершине $C$. Обозначим его $\angle C_{внеш}$. Этот угол является смежным с внутренним углом $\angle C$. По определению смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle C + \angle C_{внеш} = 180^\circ$

Из этого соотношения мы можем выразить внешний угол:
$\angle C_{внеш} = 180^\circ - \angle C$

Теперь вернемся к формуле суммы углов треугольника и выразим из нее сумму углов, не смежных с внешним углом $\angle C_{внеш}$ (то есть, углов $\angle A$ и $\angle B$):
$\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что их правые части равны. Следовательно, равны и левые части:
$\angle C_{внеш} = \angle A + \angle B$

Это и есть **теорема о внешнем угле треугольника**: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теперь мы можем сравнить внешний угол с каждым из не смежных с ним внутренних углов. Поскольку любой угол в треугольнике имеет градусную меру больше нуля ($\angle A > 0$ и $\angle B > 0$), из равенства $\angle C_{внеш} = \angle A + \angle B$ следует, что:
$\angle C_{внеш} > \angle A$
$\angle C_{внеш} > \angle B$

Таким образом, внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Ответ: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

5. Сравните внешний угол треугольника с углом треугольника, не смежным с ним.

397. Существует ли треугольник, углы которого равны:

1) $20^\circ$, $60^\circ$ и $80^\circ$;

2) $10^\circ$, $40^\circ$ и $120^\circ$?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными углами, необходимо воспользоваться теоремой о сумме углов треугольника. Согласно этой теореме, сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии строго равна $180^\circ$. Также каждый угол треугольника должен быть больше $0^\circ$. Проверим это условие для каждого случая.

1) 20°, 60° и 80°

Найдем сумму предложенных углов. Все углы положительные, что является необходимым условием.

Сумма углов = $20^\circ + 60^\circ + 80^\circ$.

Выполним сложение: $20^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 80^\circ + 80^\circ = 160^\circ$.

Полученная сумма $160^\circ$ не равна $180^\circ$.

Поскольку сумма углов не равна $180^\circ$, треугольник с такими углами не существует.

Ответ: не существует.

2) 10°, 40° и 120°

Найдем сумму предложенных углов. Все углы положительные.

Сумма углов = $10^\circ + 40^\circ + 120^\circ$.

Выполним сложение: $10^\circ + 40^\circ + 120^\circ = 50^\circ + 120^\circ = 170^\circ$.

Полученная сумма $170^\circ$ не равна $180^\circ$.

Поскольку сумма углов не равна $180^\circ$, треугольник с такими углами не существует.

Ответ: не существует.

397. На сторонах треугольника $ABC$ (рис. 253) отметили точки $E$ и $F$ так, что $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $\angle 3 = \angle 4$.

Рис. 253

398. Найдите угол треугольника, если два других его угла равны $35^{\circ}$ и $96^{\circ}$.

Для нахождения неизвестного угла треугольника воспользуемся основной теоремой о сумме углов в треугольнике. Эта теорема утверждает, что сумма всех трех внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Тогда, согласно теореме:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

В условии задачи нам даны два угла. Пусть $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 96^\circ$. Нам нужно найти третий угол $\gamma$.

Подставим известные значения в формулу:
$35^\circ + 96^\circ + \gamma = 180^\circ$

Сначала сложим известные углы:
$35^\circ + 96^\circ = 131^\circ$

Теперь уравнение принимает вид:
$131^\circ + \gamma = 180^\circ$

Чтобы найти $\gamma$, вычтем сумму известных углов из $180^\circ$:
$\gamma = 180^\circ - 131^\circ$
$\gamma = 49^\circ$

Ответ: $49^\circ$

Рис. 252

Рис. 253

Рис. 254

398. На рисунке 254 $BC \parallel AD$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle ACD = 95^\circ$, $\angle D = 45^\circ$. Докажите, что $AB = BC$.