Страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

411. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен:

1) $110^\circ$;

2) $50^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Рассмотрим два случая для каждого из заданных углов.

1) Один из углов равен $110^\circ$

Этот угол не может быть углом при основании, так как в этом случае в треугольнике было бы два угла по $110^\circ$, а их сумма ($110^\circ + 110^\circ = 220^\circ$) уже превышает $180^\circ$, что невозможно.

Следовательно, угол $110^\circ$ является углом при вершине. Сумма двух других углов, которые равны как углы при основании, составляет $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Тогда каждый из углов при основании равен $70^\circ / 2 = 35^\circ$.

Углы треугольника: $35^\circ, 35^\circ, 110^\circ$.

Ответ: $35^\circ, 35^\circ, 110^\circ$.

2) Один из углов равен $50^\circ$

В этом случае возможны два варианта.

Случай 1: Данный угол является углом при основании. Тогда второй угол при основании также равен $50^\circ$. Третий угол (при вершине) будет равен $180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Углы треугольника: $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.

Случай 2: Данный угол является углом при вершине. Тогда сумма двух равных углов при основании составляет $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Каждый из углов при основании равен $130^\circ / 2 = 65^\circ$. Углы треугольника: $65^\circ, 65^\circ, 50^\circ$.

Таким образом, для этого случая существует два возможных набора углов.

Ответ: $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$ или $65^\circ, 65^\circ, 50^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Задача состоит из двух пунктов. Первый пункт имеет одно решение, а второй пункт — два решения. Следовательно, вся задача в целом имеет $1 + 2 = 3$ различных решения.

Ответ: 3.

411. Существует ли треугольник, в котором одна биссектриса делит пополам другую биссектрису?

412. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен: 1) $42^\circ$; 2) $94^\circ$. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для каждого пункта задачи необходимо рассмотреть два возможных случая, так как данный угол может быть либо углом при вершине, либо одним из двух равных углов при основании.

1) Один из углов равен $42^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $42^\circ$.
Если угол при вершине равен $42^\circ$, то сумма двух равных углов при основании составляет $180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$. Следовательно, каждый из углов при основании равен $138^\circ / 2 = 69^\circ$.
Углы треугольника: $42^\circ, 69^\circ, 69^\circ$.

Случай Б: Угол при основании равен $42^\circ$.
Если угол при основании равен $42^\circ$, то и второй угол при основании также равен $42^\circ$. Тогда угол при вершине будет равен $180^\circ - (42^\circ + 42^\circ) = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.
Углы треугольника: $42^\circ, 42^\circ, 96^\circ$.

Оба случая приводят к существующим треугольникам, поэтому для этого пункта задача имеет два решения.

Ответ: $42^\circ, 69^\circ, 69^\circ$ или $42^\circ, 42^\circ, 96^\circ$.

2) Один из углов равен $94^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $94^\circ$.
Если угол при вершине равен $94^\circ$, то сумма двух равных углов при основании составляет $180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$. Следовательно, каждый из углов при основании равен $86^\circ / 2 = 43^\circ$.
Углы треугольника: $94^\circ, 43^\circ, 43^\circ$.

Случай Б: Угол при основании равен $94^\circ$.
Если угол при основании равен $94^\circ$, то и второй угол при основании должен быть равен $94^\circ$. Их сумма составит $94^\circ + 94^\circ = 188^\circ$. Это значение превышает $180^\circ$, что является суммой всех углов треугольника. Такой треугольник не может существовать.

Таким образом, для этого пункта существует только одно решение.

Ответ: $94^\circ, 43^\circ, 43^\circ$.

На вопрос "Сколько решений имеет задача?" отвечаем: пункт 1) имеет два решения, а пункт 2) – одно. Следовательно, вся задача в целом имеет $2 + 1 = 3$ решения.

412. Найдите углы треугольника $ABC$, если биссектриса угла $B$ разбивает его на два равнобедренных треугольника.

413. В треугольнике ABC $\angle C=90^{\circ}$, отрезок AK—биссектриса, $\angle BAK=18^{\circ}$.

Найдите углы AKC и ABC.

По условию задачи дано, что отрезок AK является биссектрисой угла BAC. Биссектриса делит угол на два равных угла. Так как нам известно, что $\angle BAK = 18^\circ$, то:

$\angle KAC = \angle BAK = 18^\circ$

Теперь мы можем найти величину всего угла BAC, сложив две его половины:

$\angle BAC = \angle BAK + \angle KAC = 18^\circ + 18^\circ = 36^\circ$

Зная величину угла BAC, мы можем найти требуемые углы AKC и ABC.

Угол AKC

Рассмотрим треугольник AKC. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В данном треугольнике нам известны два угла: $\angle KAC = 18^\circ$ (найдено выше) и $\angle ACK$, который является углом C исходного треугольника и равен $90^\circ$ по условию. Найдем третий угол $\angle AKC$:

$\angle AKC + \angle KAC + \angle ACK = 180^\circ$

$\angle AKC + 18^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle AKC + 108^\circ = 180^\circ$

$\angle AKC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

Ответ: $72^\circ$

Угол ABC

Рассмотрим исходный треугольник ABC. Он является прямоугольным ($\angle C = 90^\circ$). Сумма его углов также равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle BAC = 36^\circ$ и $\angle BCA = 90^\circ$. Найдем третий угол $\angle ABC$:

$\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$

$\angle ABC + 36^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC + 126^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$

Ответ: $54^\circ$

413. Три точки $A$, $B$ и $C$ таковы, что выполняется равенство $AB = AC + CB$. Докажите, что точка $C$ является внутренней точкой отрезка $AB$.

414. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, отрезок $CK$ – биссектриса, $\angle A = 66^{\circ}$.

Найдите угол $AKC$.

В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

$\angle C = \angle A = 66^\circ$.

Отрезок $CK$ — биссектриса угла $C$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$\angle ACK = \angle BCK = \frac{\angle C}{2} = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Два угла этого треугольника нам известны: $\angle KAC$ (он же $\angle A$) и $\angle ACK$.

$\angle KAC = 66^\circ$

$\angle ACK = 33^\circ$

Найдем третий угол, $\angle AKC$:

$\angle AKC = 180^\circ - (\angle KAC + \angle ACK) = 180^\circ - (66^\circ + 33^\circ) = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$.

Ответ: $81^\circ$.

414. На прямой $m$ (рис. 255) найдите такую точку $C$, чтобы сумма расстояний от неё до точек $A$ и $B$ была наименьшей. Ответ обоснуйте.

Рис. 255

415. Биссектрисы $AK$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $\angle BAC = 116^{\circ}$, $\angle BCA = 34^{\circ}$. Найдите угол $AOC$.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Угол $AOC$, который нам нужно найти, является одним из его углов. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ$

Отсюда мы можем выразить искомый угол:

$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA)$

По условию, $AK$ и $CM$ — биссектрисы углов $BAC$ и $BCA$ соответственно, и они пересекаются в точке $O$. Это означает, что точка $O$ лежит на обеих биссектрисах.

Поскольку $O$ лежит на биссектрисе $AK$, то луч $AO$ делит угол $BAC$ пополам. Таким образом, угол $OAC$ равен половине угла $BAC$:

$\angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$

Аналогично, поскольку $O$ лежит на биссектрисе $CM$, то луч $CO$ делит угол $BCA$ пополам. Таким образом, угол $OCA$ равен половине угла $BCA$:

$\angle OCA = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{34^\circ}{2} = 17^\circ$

Теперь, когда мы нашли значения углов $OAC$ и $OCA$, мы можем подставить их в формулу для угла $AOC$:

$\angle AOC = 180^\circ - (58^\circ + 17^\circ)$

$\angle AOC = 180^\circ - 75^\circ$

$\angle AOC = 105^\circ$

Ответ: $105^\circ$

415. Одна сторона треугольника равна 2,8 см, а вторая – 0,6 см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу.

416. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с углом при его вершине $B$, равным $36^{\circ}$, провели биссектрису $AD$. Докажите, что треугольники $ADB$ и $CAD$ равнобедренные.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с вершиной $B$, его углы при основании $AC$ равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а угол при вершине $\angle B = 36^\circ$. Таким образом, мы можем вычислить углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 36^\circ) / 2 = 144^\circ / 2 = 72^\circ$.

По условию, $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Это означает, что $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Треугольник ADB

Рассмотрим треугольник $ADB$. Углы этого треугольника: $\angle ABD = 36^\circ$ (по условию) и $\angle BAD = 36^\circ$ (поскольку $AD$ — биссектриса). Поскольку два угла в $\triangle ADB$ равны, он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника (если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный). Стороны, противолежащие равным углам, также равны: $AD = BD$.

Ответ: Треугольник ADB является равнобедренным.

Треугольник CAD

Теперь рассмотрим треугольник $CAD$. Углы этого треугольника: $\angle ACD = 72^\circ$ (угол при основании $\triangle ABC$) и $\angle CAD = 36^\circ$ (поскольку $AD$ — биссектриса). Третий угол, $\angle ADC$, найдем из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - (\angle ACD + \angle CAD) = 180^\circ - (72^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Поскольку два угла в $\triangle CAD$ равны ($\angle ACD = \angle ADC = 72^\circ$), он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника. Стороны, противолежащие равным углам, также равны: $AC = AD$.

Ответ: Треугольник CAD является равнобедренным.

416. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = \alpha$, биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите $\angle BOC$.

417. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BF$. Найдите угол $C$, если $\angle A = 39^\circ$, $\angle AFB = 78^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла в этом треугольнике, $\angle A = 39^\circ$ и $\angle AFB = 78^\circ$, мы можем найти третий угол, $\angle ABF$.

$\angle ABF = 180^\circ - \angle A - \angle AFB$

$\angle ABF = 180^\circ - 39^\circ - 78^\circ = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$

По условию задачи, отрезок $BF$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что он делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABF = \angle FBC$. Следовательно, полный угол $\angle ABC$ в два раза больше угла $\angle ABF$.

$\angle ABC = 2 \cdot \angle ABF$

$\angle ABC = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$

Теперь мы можем найти искомый угол $C$ в треугольнике $ABC$. Мы знаем два угла: $\angle A = 39^\circ$ и $\angle B = 126^\circ$. Применим теорему о сумме углов треугольника.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

$\angle C = 180^\circ - 39^\circ - 126^\circ = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$

Ответ: $15^\circ$.

417. Отрезок $AM$ – медиана треугольника $ABC$, $\angle CAM > \angle BAM$. Докажите, что $AB > AC$.

418. Докажите, что если один из углов треугольника равен сумме двух других углов, то этот треугольник прямоугольный.

Пусть даны три угла треугольника, которые мы обозначим как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Основное свойство любого треугольника заключается в том, что сумма его внутренних углов всегда составляет $180^\circ$. Математически это записывается так:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Согласно условию задачи, один из углов равен сумме двух других. Мы можем принять, без потери общности, что угол $\gamma$ является суммой углов $\alpha$ и $\beta$:
$\gamma = \alpha + \beta$

Теперь выполним подстановку. В уравнении суммы углов треугольника заменим сумму $(\alpha + \beta)$ на эквивалентное ей значение $\gamma$:
$(\alpha + \beta) + \gamma = 180^\circ$
$\gamma + \gamma = 180^\circ$
$2\gamma = 180^\circ$

Из этого уравнения мы можем найти величину угла $\gamma$, разделив обе части на 2:
$\gamma = \frac{180^\circ}{2}$
$\gamma = 90^\circ$

Мы доказали, что один из углов треугольника равен $90^\circ$. Треугольник, у которого один из углов является прямым (то есть равен $90^\circ$), по определению называется прямоугольным. Следовательно, исходное утверждение доказано.

Ответ: Если один из углов треугольника равен сумме двух других, то величина этого угла составляет $90^\circ$, и, следовательно, такой треугольник является прямоугольным.

418. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ так, что $AC = AF = EF = BE$. Найдите углы треугольника $ABC$.

419. На рисунке 282 укажите внешние углы:

1) при вершинах $E$ и $F$ треугольника $MEF$;

2) при вершине $E$ треугольника $MKE$.

Рис. 282

1) при вершинах E и F треугольника MEF;

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с его внутренним углом при данной вершине. Он образуется одной из сторон треугольника и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

Для треугольника $MEF$ при вершине $E$ внутренним углом является $\angle MEF$. Сторона $FE$ лежит на прямой $KN$. Продолжением стороны $FE$ за вершину $E$ является луч $EK$. Следовательно, внешний угол при вершине $E$ — это угол $\angle MEK$, смежный с углом $\angle MEF$.

Для треугольника $MEF$ при вершине $F$ внутренним углом является $\angle MFE$. Сторона $EF$ лежит на прямой $KN$. Продолжением стороны $EF$ за вершину $F$ является луч $FN$. Следовательно, внешний угол при вершине $F$ — это угол $\angle MFN$, смежный с углом $\angle MFE$.

Ответ: при вершине $E$ внешний угол — $\angle MEK$, при вершине $F$ внешний угол — $\angle MFN$.

2) при вершине E треугольника MKE.

Для треугольника $MKE$ при вершине $E$ внутренним углом является $\angle MEK$. Сторона $KE$ лежит на прямой $KN$. Продолжением стороны $KE$ за вершину $E$ является луч $EF$ (или $EN$). Следовательно, внешний угол при вершине $E$ треугольника $MKE$ — это угол $\angle MEF$, смежный с углом $\angle MEK$.

Ответ: внешний угол при вершине $E$ треугольника $MKE$ — это $\angle MEF$.

419. В треугольнике ABC известно, что $AB = 2 \text{ см}$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. На стороне $AC$ отметили точку $D$ так, что $AD = 1 \text{ см}$. Найдите углы треугольника BDC.

420. На рисунке 283 укажите треугольники, для которых внешним углом является:

1) угол $AMB$;

2) угол $BMD$.

Рис. 283

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из внутренних углов этого треугольника. Он образуется одной стороной треугольника и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. На рисунке точка $M$ является точкой пересечения отрезков $AD$ и $BC$.

1) угол AMB
Чтобы угол $ \angle AMB $ был внешним для некоторого треугольника, он должен быть смежным с одним из его внутренних углов. Это означает, что одна из его сторон ($MA$ или $MB$) должна быть стороной треугольника, а другая — продолжением другой стороны треугольника, выходящей из той же вершины.
- Рассмотрим треугольник $ \triangle AMC $. Его внутренний угол при вершине $M$ — это $ \angle AMC $. Угол $ \angle AMB $ образован стороной $AM$ этого треугольника и лучом $MB$, который является продолжением стороны $CM$ за вершину $M$. Таким образом, $ \angle AMB $ является внешним углом треугольника $ \triangle AMC $.
- Рассмотрим треугольник $ \triangle BMD $. Его внутренний угол при вершине $M$ — это $ \angle BMD $. Угол $ \angle AMB $ (или $ \angle BMA $) образован стороной $BM$ этого треугольника и лучом $MA$, который является продолжением стороны $DM$ за вершину $M$. Таким образом, $ \angle AMB $ является внешним углом треугольника $ \triangle BMD $.
Ответ: $ \triangle AMC $ и $ \triangle BMD $.

2) угол BMD
Аналогично пункту 1, найдём треугольники, для которых $ \angle BMD $ является внешним.
- Рассмотрим треугольник $ \triangle ABM $. Его внутренний угол при вершине $M$ — это $ \angle AMB $. Угол $ \angle BMD $ образован стороной $BM$ этого треугольника и лучом $MD$, который является продолжением стороны $AM$ за вершину $M$. Следовательно, $ \angle BMD $ является внешним углом для треугольника $ \triangle ABM $.
- Рассмотрим треугольник $ \triangle DCM $. Его внутренний угол при вершине $M$ — это $ \angle DMC $. Угол $ \angle BMD $ (или $ \angle DMB $) образован стороной $DM$ этого треугольника и лучом $MB$, который является продолжением стороны $CM$ за вершину $M$. Следовательно, $ \angle BMD $ является внешним углом для треугольника $ \triangle DCM $.
Ответ: $ \triangle ABM $ и $ \triangle DCM $.

420. Докажите, что сумма длин двух сторон треугольника больше удвоенной длины медианы, проведённой к третьей стороне.

421. Один из внешних углов треугольника равен $75^\circ$. Найдите:

1) угол треугольника при этой вершине;

2) сумму двух углов треугольника, не смежных с ним.

1) угол треугольника при этой вершине;
Внешний угол треугольника и внутренний угол при той же вершине являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Пусть искомый внутренний угол равен $\alpha$. Тогда, зная, что внешний угол равен $75^\circ$, мы можем составить уравнение:
$\alpha + 75^\circ = 180^\circ$
$\alpha = 180^\circ - 75^\circ$
$\alpha = 105^\circ$
Ответ: $105^\circ$

2) сумму двух углов треугольника, не смежных с ним.
Согласно свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
По условию, внешний угол равен $75^\circ$. Следовательно, сумма двух углов треугольника, не смежных с ним, также равна $75^\circ$.
Проверка: Сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Из пункта 1 мы знаем, что один угол равен $105^\circ$. Тогда сумма двух оставшихся углов равна $180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
Ответ: $75^\circ$

421. На прямой отметили точки $A$, $B$ и $C$ так, что точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$ и $BC = 2AB$. На отрезке $BC$ отметили точку $D$ так, что $BD : DC = 3 : 7$. Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$, если отрезок $CD$ на 16 см длиннее отрезка $BD$.

422. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 58^\circ$, $\angle B = 72^\circ$. Найдите внешний угол треугольника при вершине $C$.

Для нахождения внешнего угла треугольника при вершине $C$ можно использовать два подхода.

Первый способ основан на свойстве внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника при любой вершине равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае, внешний угол при вершине $C$ равен сумме углов $A$ и $B$.

Дано: $\angle A = 58^\circ$, $\angle B = 72^\circ$.

Вычисляем внешний угол при вершине $C$:
Внешний $\angle C = \angle A + \angle B = 58^\circ + 72^\circ = 130^\circ$.

Второй способ заключается в последовательном нахождении внутреннего угла $C$, а затем смежного с ним внешнего угла.

1. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем внутренний угол $C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (58^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

2. Внешний угол при вершине $C$ и внутренний угол при той же вершине являются смежными, а значит их сумма равна $180^\circ$.
Внешний $\angle C = 180^\circ - \text{внутренний } \angle C = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $130^\circ$

422. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $O$ так, что $\angle OAC = \angle OCA$. Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.

423. Может ли внешний угол треугольника быть меньше смежного с ним угла треугольника? В случае утвердительного ответа укажите вид треугольника.

Да, внешний угол треугольника может быть меньше смежного с ним внутреннего угла. Чтобы определить, при каком условии это возможно, проведем анализ.

Пусть $\alpha$ — это внутренний угол треугольника, а $\beta$ — смежный с ним внешний угол. По определению, сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, их связь выражается формулой:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Из этой формулы можно выразить величину внешнего угла:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

Нам нужно выяснить, может ли выполняться неравенство $\beta < \alpha$. Подставим в это неравенство выражение для $\beta$:

$180^\circ - \alpha < \alpha$

Решим полученное неравенство относительно $\alpha$:

$180^\circ < \alpha + \alpha$

$180^\circ < 2\alpha$

$\frac{180^\circ}{2} < \alpha$

$90^\circ < \alpha$

Неравенство выполняется, если внутренний угол треугольника $\alpha$ больше $90^\circ$. Треугольник, имеющий угол больше $90^\circ$, называется тупоугольным.

Например, рассмотрим треугольник с углами $120^\circ$, $30^\circ$ и $30^\circ$. Этот треугольник является тупоугольным. Внутренний тупой угол равен $\alpha = 120^\circ$. Смежный с ним внешний угол будет равен $\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В этом случае $60^\circ < 120^\circ$, то есть внешний угол меньше смежного с ним внутреннего угла.

Ответ: Да, может. Это происходит в тупоугольном треугольнике, у которого один из углов является тупым (больше $90^\circ$).

423. Существует ли шестиугольник, у которого никакие две диагонали не имеют общих точек, отличных от вершин?

424. Определите вид треугольника, если один из его внешних углов равен смежному с ним углу треугольника.

Пусть $\alpha$ — внутренний угол треугольника, а $\beta$ — смежный с ним внешний угол.

По свойству смежных углов, их сумма всегда равна $180^\circ$. Следовательно, мы можем записать равенство:

$ \alpha + \beta = 180^\circ $

Согласно условию задачи, внешний угол равен смежному с ним внутреннему углу треугольника. Это означает, что:

$ \beta = \alpha $

Теперь подставим это условие в первое равенство:

$ \alpha + \alpha = 180^\circ $

$ 2\alpha = 180^\circ $

$ \alpha = \frac{180^\circ}{2} $

$ \alpha = 90^\circ $

Мы выяснили, что один из внутренних углов треугольника равен $90^\circ$. Треугольник, один из углов которого является прямым ($90^\circ$), по определению является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный треугольник.

424. С помощью транспортира и линейки постройте прямоугольный треугольник:

1) катеты которого равны 3 см и 4 см;

2) один из катетов которого равен 2,5 см, а прилежащий к нему угол – $40^\circ$;

3) гипотенуза которого равна 6 см, а один из острых углов – $70^\circ$.

Обозначьте построенные треугольники, укажите в каждом из них катеты и гипотенузу.