Номер 412, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 412, страница 117.

412. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен: 1) $42^\circ$; 2) $94^\circ$. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для каждого пункта задачи необходимо рассмотреть два возможных случая, так как данный угол может быть либо углом при вершине, либо одним из двух равных углов при основании.

1) Один из углов равен $42^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $42^\circ$.
Если угол при вершине равен $42^\circ$, то сумма двух равных углов при основании составляет $180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$. Следовательно, каждый из углов при основании равен $138^\circ / 2 = 69^\circ$.
Углы треугольника: $42^\circ, 69^\circ, 69^\circ$.

Случай Б: Угол при основании равен $42^\circ$.
Если угол при основании равен $42^\circ$, то и второй угол при основании также равен $42^\circ$. Тогда угол при вершине будет равен $180^\circ - (42^\circ + 42^\circ) = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.
Углы треугольника: $42^\circ, 42^\circ, 96^\circ$.

Оба случая приводят к существующим треугольникам, поэтому для этого пункта задача имеет два решения.

Ответ: $42^\circ, 69^\circ, 69^\circ$ или $42^\circ, 42^\circ, 96^\circ$.

2) Один из углов равен $94^\circ$.

Случай А: Угол при вершине равен $94^\circ$.
Если угол при вершине равен $94^\circ$, то сумма двух равных углов при основании составляет $180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$. Следовательно, каждый из углов при основании равен $86^\circ / 2 = 43^\circ$.
Углы треугольника: $94^\circ, 43^\circ, 43^\circ$.

Случай Б: Угол при основании равен $94^\circ$.
Если угол при основании равен $94^\circ$, то и второй угол при основании должен быть равен $94^\circ$. Их сумма составит $94^\circ + 94^\circ = 188^\circ$. Это значение превышает $180^\circ$, что является суммой всех углов треугольника. Такой треугольник не может существовать.

Таким образом, для этого пункта существует только одно решение.

Ответ: $94^\circ, 43^\circ, 43^\circ$.

На вопрос "Сколько решений имеет задача?" отвечаем: пункт 1) имеет два решения, а пункт 2) – одно. Следовательно, вся задача в целом имеет $2 + 1 = 3$ решения.

412. Найдите углы треугольника $ABC$, если биссектриса угла $B$ разбивает его на два равнобедренных треугольника.