Номер 417, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 417, страница 117.

417. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BF$. Найдите угол $C$, если $\angle A = 39^\circ$, $\angle AFB = 78^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла в этом треугольнике, $\angle A = 39^\circ$ и $\angle AFB = 78^\circ$, мы можем найти третий угол, $\angle ABF$.

$\angle ABF = 180^\circ - \angle A - \angle AFB$

$\angle ABF = 180^\circ - 39^\circ - 78^\circ = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$

По условию задачи, отрезок $BF$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что он делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABF = \angle FBC$. Следовательно, полный угол $\angle ABC$ в два раза больше угла $\angle ABF$.

$\angle ABC = 2 \cdot \angle ABF$

$\angle ABC = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$

Теперь мы можем найти искомый угол $C$ в треугольнике $ABC$. Мы знаем два угла: $\angle A = 39^\circ$ и $\angle B = 126^\circ$. Применим теорему о сумме углов треугольника.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

$\angle C = 180^\circ - 39^\circ - 126^\circ = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$

Ответ: $15^\circ$.

417. Отрезок $AM$ – медиана треугольника $ABC$, $\angle CAM > \angle BAM$. Докажите, что $AB > AC$.