Номер 423, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 423, страница 117.

423. Может ли внешний угол треугольника быть меньше смежного с ним угла треугольника? В случае утвердительного ответа укажите вид треугольника.

Да, внешний угол треугольника может быть меньше смежного с ним внутреннего угла. Чтобы определить, при каком условии это возможно, проведем анализ.

Пусть $\alpha$ — это внутренний угол треугольника, а $\beta$ — смежный с ним внешний угол. По определению, сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, их связь выражается формулой:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Из этой формулы можно выразить величину внешнего угла:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

Нам нужно выяснить, может ли выполняться неравенство $\beta < \alpha$. Подставим в это неравенство выражение для $\beta$:

$180^\circ - \alpha < \alpha$

Решим полученное неравенство относительно $\alpha$:

$180^\circ < \alpha + \alpha$

$180^\circ < 2\alpha$

$\frac{180^\circ}{2} < \alpha$

$90^\circ < \alpha$

Неравенство выполняется, если внутренний угол треугольника $\alpha$ больше $90^\circ$. Треугольник, имеющий угол больше $90^\circ$, называется тупоугольным.

Например, рассмотрим треугольник с углами $120^\circ$, $30^\circ$ и $30^\circ$. Этот треугольник является тупоугольным. Внутренний тупой угол равен $\alpha = 120^\circ$. Смежный с ним внешний угол будет равен $\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В этом случае $60^\circ < 120^\circ$, то есть внешний угол меньше смежного с ним внутреннего угла.

Ответ: Да, может. Это происходит в тупоугольном треугольнике, у которого один из углов является тупым (больше $90^\circ$).

423. Существует ли шестиугольник, у которого никакие две диагонали не имеют общих точек, отличных от вершин?