Номер 416, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 416, страница 117.

416. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с углом при его вершине $B$, равным $36^{\circ}$, провели биссектрису $AD$. Докажите, что треугольники $ADB$ и $CAD$ равнобедренные.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с вершиной $B$, его углы при основании $AC$ равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а угол при вершине $\angle B = 36^\circ$. Таким образом, мы можем вычислить углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 36^\circ) / 2 = 144^\circ / 2 = 72^\circ$.

По условию, $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Это означает, что $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Треугольник ADB

Рассмотрим треугольник $ADB$. Углы этого треугольника: $\angle ABD = 36^\circ$ (по условию) и $\angle BAD = 36^\circ$ (поскольку $AD$ — биссектриса). Поскольку два угла в $\triangle ADB$ равны, он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника (если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный). Стороны, противолежащие равным углам, также равны: $AD = BD$.

Ответ: Треугольник ADB является равнобедренным.

Треугольник CAD

Теперь рассмотрим треугольник $CAD$. Углы этого треугольника: $\angle ACD = 72^\circ$ (угол при основании $\triangle ABC$) и $\angle CAD = 36^\circ$ (поскольку $AD$ — биссектриса). Третий угол, $\angle ADC$, найдем из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - (\angle ACD + \angle CAD) = 180^\circ - (72^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Поскольку два угла в $\triangle CAD$ равны ($\angle ACD = \angle ADC = 72^\circ$), он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника. Стороны, противолежащие равным углам, также равны: $AC = AD$.

Ответ: Треугольник CAD является равнобедренным.

416. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = \alpha$, биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите $\angle BOC$.