Номер 418, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 418, страница 117.

418. Докажите, что если один из углов треугольника равен сумме двух других углов, то этот треугольник прямоугольный.

Пусть даны три угла треугольника, которые мы обозначим как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Основное свойство любого треугольника заключается в том, что сумма его внутренних углов всегда составляет $180^\circ$. Математически это записывается так:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Согласно условию задачи, один из углов равен сумме двух других. Мы можем принять, без потери общности, что угол $\gamma$ является суммой углов $\alpha$ и $\beta$:
$\gamma = \alpha + \beta$

Теперь выполним подстановку. В уравнении суммы углов треугольника заменим сумму $(\alpha + \beta)$ на эквивалентное ей значение $\gamma$:
$(\alpha + \beta) + \gamma = 180^\circ$
$\gamma + \gamma = 180^\circ$
$2\gamma = 180^\circ$

Из этого уравнения мы можем найти величину угла $\gamma$, разделив обе части на 2:
$\gamma = \frac{180^\circ}{2}$
$\gamma = 90^\circ$

Мы доказали, что один из углов треугольника равен $90^\circ$. Треугольник, у которого один из углов является прямым (то есть равен $90^\circ$), по определению называется прямоугольным. Следовательно, исходное утверждение доказано.

Ответ: Если один из углов треугольника равен сумме двух других, то величина этого угла составляет $90^\circ$, и, следовательно, такой треугольник является прямоугольным.

418. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ так, что $AC = AF = EF = BE$. Найдите углы треугольника $ABC$.