Номер 411, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 411, страница 117.

411. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен:

1) $110^\circ$;

2) $50^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Рассмотрим два случая для каждого из заданных углов.

1) Один из углов равен $110^\circ$

Этот угол не может быть углом при основании, так как в этом случае в треугольнике было бы два угла по $110^\circ$, а их сумма ($110^\circ + 110^\circ = 220^\circ$) уже превышает $180^\circ$, что невозможно.

Следовательно, угол $110^\circ$ является углом при вершине. Сумма двух других углов, которые равны как углы при основании, составляет $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Тогда каждый из углов при основании равен $70^\circ / 2 = 35^\circ$.

Углы треугольника: $35^\circ, 35^\circ, 110^\circ$.

Ответ: $35^\circ, 35^\circ, 110^\circ$.

2) Один из углов равен $50^\circ$

В этом случае возможны два варианта.

Случай 1: Данный угол является углом при основании. Тогда второй угол при основании также равен $50^\circ$. Третий угол (при вершине) будет равен $180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Углы треугольника: $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.

Случай 2: Данный угол является углом при вершине. Тогда сумма двух равных углов при основании составляет $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Каждый из углов при основании равен $130^\circ / 2 = 65^\circ$. Углы треугольника: $65^\circ, 65^\circ, 50^\circ$.

Таким образом, для этого случая существует два возможных набора углов.

Ответ: $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$ или $65^\circ, 65^\circ, 50^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Задача состоит из двух пунктов. Первый пункт имеет одно решение, а второй пункт — два решения. Следовательно, вся задача в целом имеет $1 + 2 = 3$ различных решения.

Ответ: 3.

411. Существует ли треугольник, в котором одна биссектриса делит пополам другую биссектрису?