Номер 413, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 413, страница 117.

413. В треугольнике ABC $\angle C=90^{\circ}$, отрезок AK—биссектриса, $\angle BAK=18^{\circ}$.

Найдите углы AKC и ABC.

По условию задачи дано, что отрезок AK является биссектрисой угла BAC. Биссектриса делит угол на два равных угла. Так как нам известно, что $\angle BAK = 18^\circ$, то:

$\angle KAC = \angle BAK = 18^\circ$

Теперь мы можем найти величину всего угла BAC, сложив две его половины:

$\angle BAC = \angle BAK + \angle KAC = 18^\circ + 18^\circ = 36^\circ$

Зная величину угла BAC, мы можем найти требуемые углы AKC и ABC.

Угол AKC

Рассмотрим треугольник AKC. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В данном треугольнике нам известны два угла: $\angle KAC = 18^\circ$ (найдено выше) и $\angle ACK$, который является углом C исходного треугольника и равен $90^\circ$ по условию. Найдем третий угол $\angle AKC$:

$\angle AKC + \angle KAC + \angle ACK = 180^\circ$

$\angle AKC + 18^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle AKC + 108^\circ = 180^\circ$

$\angle AKC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

Ответ: $72^\circ$

Угол ABC

Рассмотрим исходный треугольник ABC. Он является прямоугольным ($\angle C = 90^\circ$). Сумма его углов также равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle BAC = 36^\circ$ и $\angle BCA = 90^\circ$. Найдем третий угол $\angle ABC$:

$\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$

$\angle ABC + 36^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC + 126^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$

Ответ: $54^\circ$

413. Три точки $A$, $B$ и $C$ таковы, что выполняется равенство $AB = AC + CB$. Докажите, что точка $C$ является внутренней точкой отрезка $AB$.