Номер 410, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 410, страница 116.

410. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании на $48^{\circ}$ меньше угла при вершине.

Пусть в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $ \alpha $, а углы при основании равны $ \beta $.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $ 180^\circ $. Исходя из этого, можно составить первое уравнение:
$ \alpha + \beta + \beta = 180^\circ $
$ \alpha + 2\beta = 180^\circ $

По условию задачи, угол при основании на $ 48^\circ $ меньше угла при вершине. Это позволяет нам составить второе уравнение:
$ \beta = \alpha - 48^\circ $

Теперь решим систему из двух уравнений. Подставим выражение для $ \beta $ из второго уравнения в первое:
$ \alpha + 2(\alpha - 48^\circ) = 180^\circ $

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $ \alpha $:
$ \alpha + 2\alpha - 96^\circ = 180^\circ $
$ 3\alpha = 180^\circ + 96^\circ $
$ 3\alpha = 276^\circ $
$ \alpha = \frac{276^\circ}{3} $
$ \alpha = 92^\circ $

Итак, угол при вершине равен $ 92^\circ $. Теперь найдем угол при основании, используя второе уравнение:
$ \beta = \alpha - 48^\circ $
$ \beta = 92^\circ - 48^\circ $
$ \beta = 44^\circ $

Таким образом, углы при основании равны $ 44^\circ $.

Проверим, что сумма углов равна $ 180^\circ $:
$ 92^\circ + 44^\circ + 44^\circ = 92^\circ + 88^\circ = 180^\circ $.
Все верно.

Ответ: углы треугольника равны $ 44^\circ $, $ 44^\circ $ и $ 92^\circ $.

410. Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?