Страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

399. Найдите неизвестные углы треугольника ABC, изображённого на рисунке 278.

Рис. 278

$50^{\circ}$

$60^{\circ}$

Для решения задачи необходимо найти два неизвестных угла треугольника $ABC$: угол при вершине C ($\angle ACB$) и угол при вершине B ($\angle ABC$). Из рисунка нам даны угол при вершине A, $\angle BAC = 50^\circ$, и внешний угол при вершине C, равный $60^\circ$.

1. Найдём угол $\angle ACB$.

Внутренний угол треугольника $\angle ACB$ и смежный с ним внешний угол ($60^\circ$) вместе образуют развернутый угол, сумма которого равна $180^\circ$.

Следовательно, мы можем записать уравнение:

$\angle ACB + 60^\circ = 180^\circ$

Выразим из него $\angle ACB$:

$\angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

2. Найдём угол $\angle ABC$.

Теперь, когда мы знаем два внутренних угла треугольника ($\angle BAC = 50^\circ$ и $\angle ACB = 120^\circ$), мы можем найти третий угол, используя теорему о сумме углов треугольника. Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна $180^\circ$.

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

Подставим известные значения в формулу:

$50^\circ + \angle ABC + 120^\circ = 180^\circ$

Сложим известные углы:

$170^\circ + \angle ABC = 180^\circ$

Теперь найдём $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$

Замечание: Угол $\angle ABC$ можно было также найти, используя свойство внешнего угла треугольника, который равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. То есть, внешний угол при вершине C равен сумме углов A и B: $60^\circ = 50^\circ + \angle ABC$, откуда $\angle ABC = 60^\circ - 50^\circ = 10^\circ$.

Ответ: неизвестные углы треугольника $ABC$ равны $\angle ACB = 120^\circ$ и $\angle ABC = 10^\circ$.

399. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельная биссектрисе AM треугольника и пересекающая прямую AB в точке K. Найдите углы треугольника AKC, если $\angle BAC = 70^\circ$.

400. Найдите неизвестные углы треугольника DEF, изображённого на рисунке 279.

Рис. 279

Для нахождения неизвестных углов треугольника DEF воспользуемся свойствами углов треугольника и смежных углов.

1. Нахождение угла DFE

Угол $\angle DFE$ и внешний угол при вершине F, равный $125^\circ$, являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Следовательно, мы можем найти величину угла $\angle DFE$:

$\angle DFE + 125^\circ = 180^\circ$

$\angle DFE = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$

Ответ: $\angle DFE = 55^\circ$.

2. Нахождение угла EDF

Сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. В треугольнике DEF нам известны два угла: $\angle DEF = 20^\circ$ (дано по условию) и $\angle DFE = 55^\circ$ (найдено выше).

Таким образом, мы можем вычислить третий угол $\angle EDF$:

$\angle EDF + \angle DEF + \angle DFE = 180^\circ$

$\angle EDF + 20^\circ + 55^\circ = 180^\circ$

$\angle EDF + 75^\circ = 180^\circ$

$\angle EDF = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

Этот же результат можно получить, используя теорему о внешнем угле треугольника, который равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$125^\circ = \angle DEF + \angle EDF$

$125^\circ = 20^\circ + \angle EDF$

$\angle EDF = 125^\circ - 20^\circ = 105^\circ$

Ответ: $\angle EDF = 105^\circ$.

400. В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите $\angle AOC$, если $\angle B = 100^\circ$.

401. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC (рис. 280), $\angle A = 40^\circ$, $\angle C = 70^\circ$. Найдите угол $\angle ABD$.

Рис. 280

Для решения задачи воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника. Сумма всех углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $ABC$ нам известны два угла: $\angle A = 40^\circ$ и $\angle C = 70^\circ$. Найдем величину угла $ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle A + \angle C)$
$\angle ABC = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Из условия известно, что отрезок $BD$ является биссектрисой угла $ABC$. Биссектриса делит угол на два равных по величине угла. Следовательно, угол $ABD$ равен половине угла $ABC$:
$\angle ABD = \frac{\angle ABC}{2}$
$\angle ABD = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$.

401. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.

402. Отрезок FK – биссектриса треугольника DEF (рис. 281), $\angle EFK = 64^\circ$, $\angle D = 44^\circ$. Найдите угол E.

Рис. 281

По условию задачи, отрезок FK является биссектрисой угла DFE в треугольнике DEF. Биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом, $\angle DFK = \angle EFK$.

Нам дано, что $\angle EFK = 64^\circ$. Следовательно, $\angle DFK$ также равен $64^\circ$.

Полный угол DFE треугольника DEF равен сумме его частей:

$\angle DFE = \angle DFK + \angle EFK = 64^\circ + 64^\circ = 128^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника DEF это записывается как:

$\angle D + \angle E + \angle DFE = 180^\circ$.

Мы знаем два угла в треугольнике DEF: $\angle D = 44^\circ$ (по условию) и $\angle DFE = 128^\circ$. Подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти угол E:

$44^\circ + \angle E + 128^\circ = 180^\circ$.

Сложим известные углы:

$172^\circ + \angle E = 180^\circ$.

Теперь выразим $\angle E$:

$\angle E = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$.

Ответ: $8^\circ$.

402. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то этот треугольник равнобедренный.

403. Один из углов треугольника в 3 раза меньше другого угла и на $35^\circ$ меньше третьего. Найдите углы треугольника.

Обозначим один из углов треугольника, о котором говорится в условии, как $x$. Этот угол является наименьшим, так как по условию он меньше двух других углов.

Исходя из условия, этот угол в 3 раза меньше другого. Это означает, что второй угол равен $3x$.

Также по условию, этот же угол на $35^\circ$ меньше третьего. Следовательно, третий угол равен $x + 35^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Используя это свойство, мы можем составить уравнение:

$x + 3x + (x + 35^\circ) = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение для нахождения $x$:

$5x + 35^\circ = 180^\circ$

$5x = 180^\circ - 35^\circ$

$5x = 145^\circ$

$x = \frac{145^\circ}{5}$

$x = 29^\circ$

Итак, мы нашли величину первого, наименьшего угла. Теперь найдем два оставшихся угла:

Второй угол: $3x = 3 \cdot 29^\circ = 87^\circ$.

Третий угол: $x + 35^\circ = 29^\circ + 35^\circ = 64^\circ$.

Для проверки убедимся, что сумма найденных углов равна $180^\circ$:

$29^\circ + 87^\circ + 64^\circ = 116^\circ + 64^\circ = 180^\circ$.

Сумма верна, значит, углы найдены правильно.

Ответ: 29°, 87°, 64°.

403. Угол при основании AC равнобедренного треугольника ABC в 2 раза больше угла при вершине, AM – биссектриса треугольника. Докажите, что $BM = AC$.

404. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $2:3:7$.

Пусть углы треугольника равны $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. Согласно условию задачи, их градусные меры относятся как $ 2:3:7 $. Это означает, что мы можем представить углы в виде $ \alpha = 2x $, $ \beta = 3x $ и $ \gamma = 7x $, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности, представляющий одну часть отношения.

Известно, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Составим уравнение, используя это свойство:

$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

Подставим в уравнение выражения для углов через $x$:

$ 2x + 3x + 7x = 180^\circ $

Сложим все части, содержащие $x$:

$ (2+3+7)x = 180^\circ $

$ 12x = 180^\circ $

Теперь найдем значение одной части, решив уравнение относительно $x$:

$ x = \frac{180^\circ}{12} $

$ x = 15^\circ $

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти градусную меру каждого угла треугольника:

Первый угол: $ \alpha = 2x = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ $

Второй угол: $ \beta = 3x = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ $

Третий угол: $ \gamma = 7x = 7 \cdot 15^\circ = 105^\circ $

Проверим, что сумма найденных углов равна $180^\circ$:

$ 30^\circ + 45^\circ + 105^\circ = 75^\circ + 105^\circ = 180^\circ $

Ответ: 30°, 45°, 105°.

404. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. На стороне $BC$ отметили точку $M$ так, что $BM = AM = AC$. Найдите углы треугольника $ABC$.

405. Найдите углы равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Важным свойством такого треугольника является то, что все его внутренние углы также равны между собой.

Сумма внутренних углов любого треугольника всегда составляет $180^\circ$.

Пусть каждый угол равностороннего треугольника равен $x$. Поскольку в треугольнике три угла и все они равны, мы можем записать следующее уравнение:

$x + x + x = 180^\circ$

Упростив левую часть, получим:

$3x = 180^\circ$

Чтобы найти значение одного угла $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{180^\circ}{3}$

$x = 60^\circ$

Следовательно, каждый угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$.

Ответ: все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

405. Докажите, что в любом треугольнике существует угол:

1) не меньше $60^\circ$;

2) не больше $60^\circ$.

406. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник.

1. По определению прямоугольного треугольника, один из его углов равен $90^\circ$.

2. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. В прямоугольном треугольнике равными могут быть только острые углы, так как в треугольнике не может быть двух прямых углов. Пусть величина каждого из двух равных острых углов равна $x$.

3. Теорема о сумме углов треугольника утверждает, что сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$. На основании этого составим уравнение:

$x + x + 90^\circ = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:

$2x + 90^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 90^\circ$

$2x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{2}$

$x = 45^\circ$

Таким образом, два острых угла равнобедренного прямоугольного треугольника равны по $45^\circ$ каждый, а третий угол — прямой, $90^\circ$.

Ответ: $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$.

406. Определите вид треугольника, если:

1) один из его углов больше суммы двух других;

2) любой из его углов меньше суммы двух других.

407. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $63^\circ$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

По определению, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В условии задачи сказано, что угол при основании равен 63°. Это означает, что в треугольнике есть два угла по 63°.

Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна 180°. Обозначим искомый угол при вершине как $x$. Тогда мы можем составить следующее уравнение:

$63° + 63° + x = 180°$

Сложим известные углы:

$126° + x = 180°$

Теперь найдем $x$, вычитая 126° из 180°:

$x = 180° - 126°$

$x = 54°$

Таким образом, угол при вершине этого треугольника равен 54°.

Ответ: 54°

407. Определите вид треугольника, если сумма любых двух его углов больше $90^\circ$.

408. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 104°.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Пусть величина каждого из этих углов равна $x$.

Сумма углов любого треугольника всегда составляет $180^{\circ}$. В данном треугольнике один угол (при вершине) равен $104^{\circ}$, а два других (при основании) равны $x$.

Составим уравнение, исходя из теоремы о сумме углов треугольника: $ x + x + 104^{\circ} = 180^{\circ} $

Упростим и решим это уравнение: $ 2x + 104^{\circ} = 180^{\circ} $ $ 2x = 180^{\circ} - 104^{\circ} $ $ 2x = 76^{\circ} $ $ x = \frac{76^{\circ}}{2} $ $ x = 38^{\circ} $

Таким образом, каждый из углов при основании равен $38^{\circ}$.

Ответ: $38^{\circ}$.

ше 90 .

408. В треугольнике $ABC$ угол $B$ — тупой. На продолжении стороны $AB$ за точку $A$ отметили произвольную точку $D$. Докажите, что $CD > AC$.

409. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине в 4 раза больше угла при основании.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим один из углов при основании через $x$. Тогда второй угол при основании также будет равен $x$.

По условию задачи, угол при вершине в 4 раза больше угла при основании, следовательно, его величина равна $4x$.

Сумма всех углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Можем составить уравнение:

$x + x + 4x = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение:

$6x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, углы при основании равны $30^\circ$.

Найдем угол при вершине:

$4x = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$

Итак, углы треугольника равны $30^\circ$, $30^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $30^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$.

409. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C > 90^{\circ}$. На стороне $BC$ отметили произвольную точку $D$. Докажите, что $AD > AC$.

410. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании на $48^{\circ}$ меньше угла при вершине.

Пусть в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $ \alpha $, а углы при основании равны $ \beta $.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $ 180^\circ $. Исходя из этого, можно составить первое уравнение:
$ \alpha + \beta + \beta = 180^\circ $
$ \alpha + 2\beta = 180^\circ $

По условию задачи, угол при основании на $ 48^\circ $ меньше угла при вершине. Это позволяет нам составить второе уравнение:
$ \beta = \alpha - 48^\circ $

Теперь решим систему из двух уравнений. Подставим выражение для $ \beta $ из второго уравнения в первое:
$ \alpha + 2(\alpha - 48^\circ) = 180^\circ $

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $ \alpha $:
$ \alpha + 2\alpha - 96^\circ = 180^\circ $
$ 3\alpha = 180^\circ + 96^\circ $
$ 3\alpha = 276^\circ $
$ \alpha = \frac{276^\circ}{3} $
$ \alpha = 92^\circ $

Итак, угол при вершине равен $ 92^\circ $. Теперь найдем угол при основании, используя второе уравнение:
$ \beta = \alpha - 48^\circ $
$ \beta = 92^\circ - 48^\circ $
$ \beta = 44^\circ $

Таким образом, углы при основании равны $ 44^\circ $.

Проверим, что сумма углов равна $ 180^\circ $:
$ 92^\circ + 44^\circ + 44^\circ = 92^\circ + 88^\circ = 180^\circ $.
Все верно.

Ответ: углы треугольника равны $ 44^\circ $, $ 44^\circ $ и $ 92^\circ $.

410. Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?