Страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

451. Найдите углы треугольника $ABC$, если биссектриса угла $B$ разбивает его на два равнобедренных треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$ угла $B$. Она делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$. По условию, оба этих треугольника являются равнобедренными.

Обозначим $\angle ABD = \angle DBC = \beta$. Тогда $\angle B = 2\beta$. Пусть $\angle A = \alpha$ и $\angle C = \gamma$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $\alpha + 2\beta + \gamma = 180^\circ$.

В равнобедренных треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$ сторона $BD$ является общей. Можно доказать, что в каждом из этих треугольников одной из равных сторон должна быть сторона $BD$. Это приводит к двум основным возможным случаям (и одному симметричному ему), которые мы и рассмотрим.

Если в $\triangle ABD$ стороны $AD=BD$, то углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \angle ABD = \beta$.

Если в $\triangle BDC$ стороны $CD=BD$, то углы при основании $BC$ равны: $\angle C = \angle DBC = \beta$.

Таким образом, углы треугольника $ABC$ выражаются через $\beta$: $\angle A = \beta$, $\angle B = 2\beta$, $\angle C = \beta$.

Сумма углов треугольника $ABC$ должна быть равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\beta + 2\beta + \beta = 180^\circ$

$4\beta = 180^\circ$

$\beta = 45^\circ$

Находим углы треугольника $ABC$:

• $\angle A = 45^\circ$
• $\angle B = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$
• $\angle C = 45^\circ$

В этом случае треугольник $ABC$ является прямоугольным и равнобедренным.

Ответ: углы треугольника равны $45^\circ, 90^\circ, 45^\circ$.

Если в $\triangle ABD$ стороны $AD=BD$, то, как и в первом случае, $\angle A = \angle ABD = \beta$.

Если в $\triangle BDC$ стороны $BC=BD$, то углы при основании $DC$ равны: $\angle C = \angle BDC$.

Сумма углов в $\triangle BDC$: $\angle C + \angle DBC + \angle BDC = 180^\circ$. Подставляя $\angle DBC = \beta$ и $\angle BDC = \angle C$, получаем:

$\angle C + \beta + \angle C = 180^\circ \implies 2\angle C + \beta = 180^\circ$

Теперь воспользуемся свойством о сумме углов для всего треугольника $ABC$. Его углы: $\angle A = \beta$, $\angle B = 2\beta$ и $\angle C$.

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\beta + 2\beta + \angle C = 180^\circ \implies 3\beta + \angle C = 180^\circ$

Получили систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} 2\angle C + \beta = 180^\circ \\ 3\beta + \angle C = 180^\circ \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\beta = 180^\circ - 2\angle C$ и подставим во второе:

$3(180^\circ - 2\angle C) + \angle C = 180^\circ$

$540^\circ - 6\angle C + \angle C = 180^\circ$

$540^\circ - 5\angle C = 180^\circ$

$5\angle C = 360^\circ$

$\angle C = 72^\circ$

Тогда $\beta = 180^\circ - 2(72^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.

Находим углы треугольника $ABC$:

• $\angle A = \beta = 36^\circ$
• $\angle B = 2\beta = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$
• $\angle C = 72^\circ$

Симметричный случай ($AB=BD$ и $CD=BD$) даст тот же набор углов, но с $\angle A = 72^\circ$ и $\angle C = 36^\circ$. В обоих вариантах набор углов в треугольнике один и тот же.

Ответ: углы треугольника равны $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

451. Можно ли утверждать, что если две стороны и высота, проведённая к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне, другого треугольника, то эти треугольники равны?

452. В треугольнике ABC $\angle A = \alpha$, биссектрисы внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке O. Найдите угол BOC.

Пусть в треугольнике $ABC$ внутренние углы при вершинах $B$ и $C$ равны $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. По условию задачи, угол при вершине $A$ равен $\alpha$, то есть $\angle A = \alpha$.

Внешний угол при вершине $B$ является смежным с внутренним углом $\angle B$, следовательно, его величина равна $180^\circ - \angle B$. Аналогично, величина внешнего угла при вершине $C$ равна $180^\circ - \angle C$.

По условию, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами этих внешних углов. Биссектриса делит угол пополам. Следовательно, мы можем найти углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$ в треугольнике $BOC$.

Угол $\angle OBC$ составляет половину внешнего угла при вершине $B$:
$\angle OBC = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B) = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$.

Угол $\angle OCB$ составляет половину внешнего угла при вершине $C$:
$\angle OCB = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle C) = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Применив это свойство к треугольнику $BOC$, получаем:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$.

Теперь подставим найденные выражения для углов $\angle OBC$ и $\angle OCB$ в это равенство:
$\angle BOC + \left(90^\circ - \frac{\angle B}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{\angle C}{2}\right) = 180^\circ$.

Упростим полученное уравнение:
$\angle BOC + 180^\circ - \left(\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}\right) = 180^\circ$.
$\angle BOC - \frac{\angle B + \angle C}{2} = 0$.
$\angle BOC = \frac{\angle B + \angle C}{2}$.

Чтобы выразить $\angle BOC$ через $\alpha$, воспользуемся свойством суммы углов исходного треугольника $ABC$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
Поскольку $\angle A = \alpha$, то $\angle B + \angle C = 180^\circ - \alpha$.

Подставим это соотношение в формулу для $\angle BOC$:
$\angle BOC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

452. Докажите равенство треугольников по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

453. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки E и F так, что $AC = AF = EF = BE$.

Найдите углы треугольника ABC.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$. Точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. По условию задачи, $AC = AF = EF = BE$.

Обозначим углы треугольника $ABC$ следующим образом: пусть $\angle ABC = x$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - x)/2 = 90^\circ - x/2$.

Теперь последовательно рассмотрим несколько треугольников, равнобедренных по условию.

1. Рассмотрим треугольник $AFC$.

По условию $AC = AF$, значит, треугольник $AFC$ — равнобедренный с основанием $FC$. Углы при основании равны: $\angle AFC = \angle ACF$.

Угол $\angle ACF$ совпадает с углом $\angle BCA$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle ACF = 90^\circ - x/2$.

Следовательно, $\angle AFC = 90^\circ - x/2$.

Сумма углов в треугольнике $AFC$ равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $\angle FAC$ равен:

$\angle FAC = 180^\circ - (\angle AFC + \angle ACF) = 180^\circ - 2 \cdot (90^\circ - x/2) = 180^\circ - 180^\circ + x = x$.

2. Рассмотрим треугольник $BEF$.

По условию $BE = EF$, значит, треугольник $BEF$ — равнобедренный. Равные стороны — $BE$ и $EF$. Основанием является сторона $BF$. Углы при основании равны: $\angle EBF = \angle EFB$.

Угол $\angle EBF$ совпадает с углом $\angle ABC$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle EBF = x$.

Следовательно, $\angle EFB = x$.

Угол при вершине $\angle BEF$ (угол между равными сторонами) равен:

$\angle BEF = 180^\circ - (\angle EBF + \angle EFB) = 180^\circ - (x + x) = 180^\circ - 2x$.

3. Рассмотрим треугольник $AFE$.

По условию $AF = EF$, значит, треугольник $AFE$ — равнобедренный с основанием $AE$. Углы при основании равны: $\angle FAE = \angle FEA$.

Угол $\angle FAE$ является частью угла $\angle BAC$. Мы можем найти его как разность углов $\angle BAC$ и $\angle FAC$:

$\angle FAE = \angle BAC - \angle FAC = (90^\circ - x/2) - x = 90^\circ - 3x/2$.

Следовательно, $\angle FEA = 90^\circ - 3x/2$.

Угол при вершине $\angle AFE$ равен:

$\angle AFE = 180^\circ - 2 \cdot \angle FAE = 180^\circ - 2 \cdot (90^\circ - 3x/2) = 180^\circ - 180^\circ + 3x = 3x$.

4. Составим уравнение.

Точки $B, F, C$ лежат на одной прямой. Углы $\angle AFC$ и $\angle AFB$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle AFB = 180^\circ - \angle AFC = 180^\circ - (90^\circ - x/2) = 90^\circ + x/2$.

С другой стороны, угол $\angle AFB$ состоит из двух углов: $\angle AFE$ и $\angle EFB$.

$\angle AFB = \angle AFE + \angle EFB$.

Подставим в это равенство найденные нами выражения для углов:

$90^\circ + x/2 = 3x + x$.

5. Решим уравнение.

$90^\circ + x/2 = 4x$

$90^\circ = 4x - x/2$

$90^\circ = \frac{8x - x}{2}$

$90^\circ = \frac{7x}{2}$

$180^\circ = 7x$

$x = \frac{180^\circ}{7}$

6. Найдем углы треугольника $ABC$.

Мы нашли угол при вершине $B$:

$\angle ABC = x = \frac{180^\circ}{7}$.

Теперь найдем углы при основании $A$ и $C$:

$\angle BAC = \angle BCA = 90^\circ - x/2 = 90^\circ - \frac{1}{2} \cdot \frac{180^\circ}{7} = 90^\circ - \frac{90^\circ}{7} = \frac{630^\circ - 90^\circ}{7} = \frac{540^\circ}{7}$.

Проверка: Сумма углов $\frac{180^\circ}{7} + 2 \cdot \frac{540^\circ}{7} = \frac{180^\circ + 1080^\circ}{7} = \frac{1260^\circ}{7} = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $\angle A = \frac{540^\circ}{7}$, $\angle B = \frac{180^\circ}{7}$, $\angle C = \frac{540^\circ}{7}$.

453. Углы $ABC$ и $DBC$ – смежные, луч $BM$ принадлежит углу $ABC$, луч $BK$ – углу $DBC$, $\angle MBC = \angle CBK = 30^\circ$, угол $DBK$ в 5 раз больше угла $ABM$. Найдите углы $ABC$ и $DBC$.

454. В треугольнике ABC $AB = 2$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. На стороне AC отметили точку D так, что $AD = 1$ см. Найдите углы треугольника BDC.

1. Сначала найдем третий угол в исходном треугольнике ABC. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ$.

Этот угол $\angle C$ является также углом $\angle BCD$ в треугольнике BDC. Таким образом, мы нашли один из искомых углов: $\angle BCD = 50^\circ$.

2. Чтобы найти остальные углы, применим метод дополнительного построения. На стороне AB отметим точку M так, чтобы $AM = AD = 1$ см. Так как по условию $AB = 2$ см, то оставшаяся часть стороны $MB$ будет равна $MB = AB - AM = 2 - 1 = 1$ см.

3. Рассмотрим треугольник ADM. В нем две стороны равны ($AD = AM = 1$ см), а угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом 60° между ними является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны 1 см, и все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $DM = 1$ см и $\angle AMD = 60^\circ$.

4. Теперь рассмотрим треугольник DMB. Мы установили, что $DM = 1$ см и $MB = 1$ см. Значит, треугольник DMB является равнобедренным с основанием DB.

5. Точки A, M, B лежат на одной прямой (стороне AB), поэтому угол $\angle DMB$ является смежным с углом $\angle AMD$. Найдем его величину:

$\angle DMB = 180^\circ - \angle AMD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

6. Так как треугольник DMB равнобедренный, углы при его основании DB равны. Найдем их:

$\angle MBD = \angle MDB = \frac{180^\circ - \angle DMB}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

7. Угол $\angle MBD$ является частью угла $\angle ABC$. Теперь мы можем найти второй искомый угол, $\angle DBC$:

$\angle DBC = \angle ABC - \angle MBD = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ$.

8. Зная два угла треугольника BDC ($\angle BCD = 50^\circ$ и $\angle DBC = 40^\circ$), найдем третий угол $\angle BDC$:

$\angle BDC = 180^\circ - (\angle BCD + \angle DBC) = 180^\circ - (50^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ответ: углы треугольника BDC равны $\angle DBC = 40^\circ$, $\angle BCD = 50^\circ$ и $\angle BDC = 90^\circ$.

454. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $BM = BK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что:

1) треугольник $AOC$ – равнобедренный;

2) прямая $BO$ – серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

455. На прямой отметили точки A, B и C так, что точка B лежит между точками A и C, причём $BC = 2AB$. На отрезке BC отметили точку D так, что $BD : DC = 3 : 7$. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD, если отрезок CD на 16 см длиннее отрезка BD.

1. Найдём длины отрезков BD и DC.

По условию задачи, отношение длин отрезков $BD$ и $DC$ составляет $3:7$. Это можно записать как $BD = 3x$ и $DC = 7x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$.

Также дано, что отрезок $CD$ на 16 см длиннее отрезка $BD$. Составим уравнение:

$CD - BD = 16$

Подставим наши выражения через $x$:

$7x - 3x = 16$

$4x = 16$

$x = \frac{16}{4} = 4$ см

Теперь найдём длины отрезков $BD$ и $DC$:

$BD = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см

$DC = 7x = 7 \cdot 4 = 28$ см

Проверка: $28 - 12 = 16$ см, что соответствует условию.

2. Найдём длины отрезков BC и AB.

Точка $D$ лежит на отрезке $BC$, следовательно, длина отрезка $BC$ равна сумме длин отрезков $BD$ и $DC$:

$BC = BD + DC = 12 + 28 = 40$ см

По условию, $BC = 2AB$. Отсюда мы можем найти длину отрезка $AB$:

$AB = \frac{BC}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см

3. Найдём расстояние между серединами отрезков AB и CD.

Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB$, а точка $N$ — середина отрезка $CD$. Точки на прямой расположены в следующем порядке: $A, M, B, D, N, C$.

Расстояние, которое нам нужно найти, — это длина отрезка $MN$. Его можно представить как сумму длин трёх отрезков: $MB$, $BD$ и $DN$.

$MN = MB + BD + DN$

Найдём длины этих отрезков:

• $MB$ — это половина длины $AB$: $MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.
• $BD$ — длина этого отрезка уже найдена: $BD = 12$ см.
• $DN$ — это половина длины $CD$ (или $DC$): $DN = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14$ см.

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти искомое расстояние:

$MN = 10 + 12 + 14 = 36$ см

Ответ: 36 см

455. На рисунке 266 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите, что $AO = OC$.

Рис. 266

456. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $O$ так, что $\angle OAC = \angle OCA$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $OAC$. По условию задачи дано, что углы при основании $AC$ этого треугольника равны: $\angle OAC = \angle OCA$. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $OAC$ — равнобедренный, а значит его боковые стороны равны: $OA = OC$.

Теперь сравним треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCM$.

В этих треугольниках:

• сторона $OA$ равна стороне $OC$ (согласно доказанному выше);
• сторона $AM$ равна стороне $MC$ (так как $BM$ — медиана по условию задачи, а медиана делит сторону пополам);
• сторона $OM$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCM$ равны между собой по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. В частности, равны углы, лежащие против равных сторон $OA$ и $OC$. Это углы $\angle OMA$ и $\angle OMC$.

Углы $\angle OMA$ и $\angle OMC$ являются смежными, так как они имеют общую вершину $M$, общую сторону $OM$, а две другие стороны $MA$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Поскольку $\angle OMA = \angle OMC$ и $\angle OMA + \angle OMC = 180^\circ$, то каждый из этих углов равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

Это означает, что отрезок $OM$ перпендикулярен стороне $AC$. Так как точка $O$ лежит на медиане $BM$, то и вся прямая $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, медиана $BM$ в треугольнике $ABC$ является также его высотой.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, если в треугольнике медиана, проведенная к одной из сторон, является также и высотой, то такой треугольник — равнобедренный.

Ответ: Так как медиана $BM$ треугольника $ABC$ является и его высотой, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

456. Можно ли замостить плоскость фигурами, изображёнными на рисунке 267?

Рис. 266

Рис. 267

457. Существует ли шестиугольник, у которого никакие две диагонали не имеют общих точек, отличных от вершин?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть различные конфигурации шестиугольника. Под «шестиугольником» будем понимать простой (несамопересекающийся) многоугольник с шестью вершинами. Условие задачи гласит, что никакие две диагонали не должны иметь общих точек, кроме вершин.

Докажем, что такого шестиугольника не существует, методом от противного. Предположим, что такой шестиугольник существует. Обозначим его вершины в порядке обхода $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6$.

Рассмотрим выпуклую оболочку этих шести вершин. Выпуклая оболочка — это наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все шесть вершин. Вершинами выпуклой оболочки может быть от трёх до шести вершин исходного шестиугольника. Разберём все возможные случаи.

1. Выпуклая оболочка является шестиугольником.

В этом случае сам шестиугольник является выпуклым. В любом выпуклом шестиугольнике $V_1V_2V_3V_4V_5V_6$ диагонали, соединяющие вершины через две, например $V_1V_4$ и $V_2V_5$, всегда пересекаются внутри шестиугольника. Точка их пересечения не является вершиной. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Выпуклая оболочка является пятиугольником.

Пусть вершины выпуклой оболочки — это $A, B, C, D, E$, а шестая вершина $F$ находится внутри этого пятиугольника. Чтобы образовать простой шестиугольник, его вершины должны быть соединены в определённом порядке. Без ограничения общности, пусть порядок вершин шестиугольника таков: $A-B-C-F-D-E-A$. Рассмотрим диагонали $BD$ и $CE$ этого шестиугольника (они являются диагоналями, так как не соединяют соседние вершины в указанной последовательности). Эти две диагонали также являются диагоналями выпуклого пятиугольника $ABCDE$ и, следовательно, пересекаются внутри него. Эта точка пересечения не является вершиной. Следовательно, этот случай также невозможен.

3. Выпуклая оболочка является четырёхугольником.

Пусть вершины выпуклой оболочки — $A, B, C, D$, а две оставшиеся вершины $E$ и $F$ находятся внутри. Чтобы сформировать простой шестиугольник, можно соединить вершины, например, в порядке $A-E-B-C-F-D-A$. Рассмотрим диагонали $AC$ и $BD$. Они являются диагоналями шестиугольника (соседи $A$ — это $D$ и $E$; соседи $C$ — это $B$ и $F$). В то же время $AC$ и $BD$ — это диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$, и они обязаны пересекаться внутри него. Эта точка пересечения не является вершиной. Следовательно, и этот случай невозможен.

4. Выпуклая оболочка является треугольником.

Пусть вершины выпуклой оболочки — $A, B, C$, а остальные три вершины $D, E, F$ находятся внутри треугольника $\triangle ABC$. Чтобы шестиугольник был простым, его граница должна поочередно проходить через вершины на выпуклой оболочке и внутренние вершины. Единственный возможный порядок (с точностью до симметрии) — это $A-D-B-E-C-F-A$.

Рассмотрим две диагонали этого шестиугольника: $AE$ и $BF$.

• Отрезок $AE$ является диагональю, так как соседи вершины $A$ в шестиугольнике — это $F$ и $D$, а соседи вершины $E$ — это $B$ и $C$.
• Отрезок $BF$ является диагональю, так как соседи вершины $B$ — это $D$ и $E$, а соседи вершины $F$ — это $C$ и $A$.

Вершины $A$ и $B$ лежат на границе выпуклой оболочки ($\triangle ABC$), а точки $E$ и $F$ находятся строго внутри неё. Прямая, проходящая через точки $A$ и $E$, пересекает сторону $BC$ треугольника. Таким образом, эта прямая разделяет плоскость так, что вершины $B$ и $C$ оказываются в разных полуплоскостях. Точка $F$ находится внутри $\triangle ABC$. Предположим, $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AE$, что и вершина $C$. Тогда вершина $B$ и точка $F$ лежат в разных полуплоскостях. Следовательно, отрезок $BF$ пересекает прямую $AE$. Поскольку вся конструкция находится внутри $\triangle ABC$, точка пересечения отрезков $AE$ и $BF$ будет лежать внутри треугольника и не будет совпадать ни с одной из вершин. Таким образом, эти две диагонали пересекаются в точке, отличной от вершины. Этот случай также невозможен.

Мы рассмотрели все возможные случаи расположения вершин шестиугольника и в каждом из них пришли к противоречию с условием задачи. Следовательно, такого шестиугольника не существует.

Примечание: Если допустить самопересекающиеся шестиугольники, то ответ будет другим. Например, вершины правильной гексаграммы (шестиконечной звезды) образуют самопересекающийся шестиугольник, у которого диагонали не пересекаются. Однако в классической геометрии под многоугольником обычно понимают простой многоугольник.

Ответ: Нет, не существует.

457. Стороны прямоугольного треугольника равны $24 \text{ см}$, $10 \text{ см}$ и $26 \text{ см}$.
Чему равен наибольший катет данного треугольника?