Номер 454, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 454, страница 120.

454. В треугольнике ABC $AB = 2$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. На стороне AC отметили точку D так, что $AD = 1$ см. Найдите углы треугольника BDC.

1. Сначала найдем третий угол в исходном треугольнике ABC. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ$.

Этот угол $\angle C$ является также углом $\angle BCD$ в треугольнике BDC. Таким образом, мы нашли один из искомых углов: $\angle BCD = 50^\circ$.

2. Чтобы найти остальные углы, применим метод дополнительного построения. На стороне AB отметим точку M так, чтобы $AM = AD = 1$ см. Так как по условию $AB = 2$ см, то оставшаяся часть стороны $MB$ будет равна $MB = AB - AM = 2 - 1 = 1$ см.

3. Рассмотрим треугольник ADM. В нем две стороны равны ($AD = AM = 1$ см), а угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом 60° между ними является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны 1 см, и все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $DM = 1$ см и $\angle AMD = 60^\circ$.

4. Теперь рассмотрим треугольник DMB. Мы установили, что $DM = 1$ см и $MB = 1$ см. Значит, треугольник DMB является равнобедренным с основанием DB.

5. Точки A, M, B лежат на одной прямой (стороне AB), поэтому угол $\angle DMB$ является смежным с углом $\angle AMD$. Найдем его величину:

$\angle DMB = 180^\circ - \angle AMD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

6. Так как треугольник DMB равнобедренный, углы при его основании DB равны. Найдем их:

$\angle MBD = \angle MDB = \frac{180^\circ - \angle DMB}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

7. Угол $\angle MBD$ является частью угла $\angle ABC$. Теперь мы можем найти второй искомый угол, $\angle DBC$:

$\angle DBC = \angle ABC - \angle MBD = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ$.

8. Зная два угла треугольника BDC ($\angle BCD = 50^\circ$ и $\angle DBC = 40^\circ$), найдем третий угол $\angle BDC$:

$\angle BDC = 180^\circ - (\angle BCD + \angle DBC) = 180^\circ - (50^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ответ: углы треугольника BDC равны $\angle DBC = 40^\circ$, $\angle BCD = 50^\circ$ и $\angle BDC = 90^\circ$.

454. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $BM = BK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что:

1) треугольник $AOC$ – равнобедренный;

2) прямая $BO$ – серединный перпендикуляр отрезка $AC$.