Номер 449, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 449, страница 119.

449. Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что такой треугольник существует. Обозначим этот треугольник как $ABC$, а его углы при вершинах как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $I$. По условию задачи, эти биссектрисы перпендикулярны, что означает, что угол при их пересечении равен $90^{\circ}$, то есть $\angle AIB = 90^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $AIB$. По определению биссектрисы, углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половине соответствующих углов исходного треугольника: $\angle IAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle IBA = \frac{\angle B}{2}$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $AIB$ это можно записать в виде уравнения:
$\angle IAB + \angle IBA + \angle AIB = 180^{\circ}$

Подставим известные значения в это уравнение:
$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти сумму углов $\angle A$ и $\angle B$:
$\frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^{\circ} - 90^{\circ}$
$\frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^{\circ}$
$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$

С другой стороны, сумма всех углов в исходном треугольнике $ABC$ также должна быть равна $180^{\circ}$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$

Подставив в это равенство найденное нами значение суммы $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$, получаем:
$180^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
Из этого следует, что $\angle C = 0^{\circ}$.

Угол треугольника не может быть равен нулю. Если бы один из углов был равен $0^{\circ}$, то все три вершины лежали бы на одной прямой, и фигура не являлась бы треугольником. Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение о существовании треугольника с двумя перпендикулярными биссектрисами было неверным.

Ответ: Нет, такого треугольника не существует.

449. Высоты AM и СК треугольника ABC пересекаются в точке H, $HK = HM$. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.