Номер 446, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 446, страница 119.

446. Докажите, что в любом треугольнике существует угол:

1) не меньше $60^{\circ}$;

2) не больше $60^{\circ}$.

1) не меньше 60°

Доказательство проведём методом от противного. Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Предположим обратное: в треугольнике все углы строго меньше $60^\circ$. Это можно записать в виде системы неравенств:

$\alpha < 60^\circ$

$\beta < 60^\circ$

$\gamma < 60^\circ$

Если сложить эти три неравенства, мы получим:

$\alpha + \beta + \gamma < 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ$

$\alpha + \beta + \gamma < 180^\circ$

Это утверждение вступает в противоречие с тем фактом, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Таким образом, в любом треугольнике должен существовать по крайней мере один угол, который не меньше $60^\circ$ (то есть $\ge 60^\circ$). Что и требовалось доказать.

Ответ:

2) не больше 60°

Доказательство для этого случая также проведём методом от противного. Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, и их сумма, как известно, составляет $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Предположим обратное: в треугольнике все углы строго больше $60^\circ$. Запишем это в виде системы неравенств:

$\alpha > 60^\circ$

$\beta > 60^\circ$

$\gamma > 60^\circ$

Сложив эти три неравенства, мы получим:

$\alpha + \beta + \gamma > 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ$

$\alpha + \beta + \gamma > 180^\circ$

Это утверждение также противоречит теореме о сумме углов треугольника. Следовательно, наше предположение было неверным. Таким образом, в любом треугольнике должен существовать по крайней мере один угол, который не больше $60^\circ$ (то есть $\le 60^\circ$). Что и требовалось доказать.

Ответ:

446. Докажите равенство треугольников по стороне и проведённым к ней медиане и высоте.