Номер 445, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 445, страница 119.

445. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. На стороне $BC$ отметили точку $M$ так, что $BM = AM = AC$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ углы при основании равны $\alpha$. Таким образом, $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию задачи дано, что $AM = AC$. Это означает, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $MC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle AMC = \angle ACM$. Так как $\angle ACM$ это тот же угол, что и $\angle BCA$, то $\angle AMC = \alpha$. Тогда третий угол этого треугольника, $\angle MAC$, можно найти из суммы углов треугольника: $\angle MAC = 180^\circ - (\angle AMC + \angle ACM) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMB$. По условию $BM = AM$, значит, треугольник $AMB$ также является равнобедренным, но с основанием $AB$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle BAM = \angle ABM$.

Угол $\angle ABM$ совпадает с углом $\angle ABC$ исходного треугольника, поэтому $\angle ABM = 180^\circ - 2\alpha$. Отсюда получаем, что $\angle BAM = 180^\circ - 2\alpha$.

Угол $\angle BAC$ является суммой углов $\angle BAM$ и $\angle MAC$. Мы можем выразить $\angle BAM$ через известные нам величины: $\angle BAM = \angle BAC - \angle MAC$. Подставим выражения для этих углов через $\alpha$: $\angle BAM = \alpha - (180^\circ - 2\alpha) = \alpha - 180^\circ + 2\alpha = 3\alpha - 180^\circ$.

Мы получили два разных выражения для одного и того же угла $\angle BAM$. Приравняем их, чтобы составить уравнение и найти $\alpha$: $180^\circ - 2\alpha = 3\alpha - 180^\circ$ $180^\circ + 180^\circ = 3\alpha + 2\alpha$ $360^\circ = 5\alpha$ $\alpha = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

Зная значение $\alpha$, мы можем найти все углы треугольника $ABC$: Углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha = 72^\circ$. Угол при вершине: $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 72^\circ = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

445. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и двум высотам, проведённым из концов этой стороны.