Номер 439, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 439, страница 119.

439. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельная биссектрисе AM треугольника и пересекающая прямую AB в точке K. Найдите углы треугольника AKC, если $\angle BAC = 70^\circ$.

По условию задачи, $AM$ является биссектрисой угла $∠BAC$, который равен $70°$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$∠BAM = ∠MAC = \frac{∠BAC}{2} = \frac{70°}{2} = 35°$.

Через вершину $C$ проведена прямая $KC$, параллельная биссектрисе $AM$ ($KC \parallel AM$), которая пересекает прямую $AB$ в точке $K$.

Рассмотрим параллельные прямые $AM$ и $KC$ и секущую $AC$. Углы $∠MAC$ и $∠ACK$ являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку прямые параллельны, эти углы равны:

$∠ACK = ∠MAC = 35°$.

Теперь определим положение точки $K$ на прямой $AB$. Если бы точка $K$ лежала на продолжении отрезка $AB$ за точкой $B$, то угол $∠KAC$ совпадал бы с углом $∠BAC$ и был бы равен $70°$. Углы $∠BAM$ и $∠AKC$ были бы соответственными при параллельных прямых $AM$ и $KC$ и секущей $AK$, значит $∠AKC = ∠BAM = 35°$. Тогда сумма углов в треугольнике $AKC$ была бы $70° + 35° + 35° = 140°$, что невозможно, так как сумма углов любого треугольника равна $180°$.

Следовательно, точка $A$ лежит между точками $K$ и $B$. Это означает, что углы $∠KAC$ и $∠BAC$ являются смежными, и их сумма равна $180°$.

$∠KAC + ∠BAC = 180°$

$∠KAC = 180° - ∠BAC = 180° - 70° = 110°$.

Теперь мы знаем два угла треугольника $AKC$: $∠KAC = 110°$ и $∠ACK = 35°$. Третий угол $∠AKC$ найдем из теоремы о сумме углов треугольника:

$∠AKC = 180° - (∠KAC + ∠ACK) = 180° - (110° + 35°) = 180° - 145° = 35°$.

Итак, углы треугольника $AKC$ равны $110°$, $35°$ и $35°$.

Ответ: Углы треугольника $AKC$: $∠KAC = 110°$, $∠AKC = 35°$, $∠ACK = 35°$.

439. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.