Номер 433, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 433, страница 118.

433. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен:
1) $54^\circ$;
2) $112^\circ$.
Сколько решений имеет задача?

Пусть углы равнобедренного треугольника равны $\alpha, \alpha, \beta$, где $\alpha$ - углы при основании, а $\beta$ - угол при вершине. Сумма углов треугольника равна $2\alpha + \beta = 180^\circ$. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$.

1) Внешний угол равен $54^\circ$

Смежный с ним внутренний угол равен $180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$. Так как этот угол тупой (больше $90^\circ$), он не может быть углом при основании, поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов. Следовательно, это угол при вершине.

Таким образом, угол при вершине $\beta = 126^\circ$.

Найдем углы при основании $\alpha$ из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$2\alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + 126^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 126^\circ$

$2\alpha = 54^\circ$

$\alpha = 27^\circ$

Углы треугольника равны $27^\circ, 27^\circ, 126^\circ$. Для этого случая существует только одно решение.

Ответ: $27^\circ, 27^\circ, 126^\circ$.

2) Внешний угол равен $112^\circ$

Смежный с ним внутренний угол равен $180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. Так как этот угол острый (меньше $90^\circ$), он может быть как углом при основании, так и углом при вершине. Рассмотрим оба случая.

Случай А: Угол $68^\circ$ – это угол при основании ($\alpha$).

Тогда один угол при основании $\alpha = 68^\circ$, значит и второй угол при основании равен $68^\circ$.

Найдем угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - (68^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

В этом случае углы треугольника: $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$.

Случай Б: Угол $68^\circ$ – это угол при вершине ($\beta$).

Тогда $\beta = 68^\circ$.

Найдем углы при основании $\alpha$:

$2\alpha + 68^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 68^\circ$

$2\alpha = 112^\circ$

$\alpha = 56^\circ$

В этом случае углы треугольника: $56^\circ, 56^\circ, 68^\circ$.

Для этого случая существует два решения.

Ответ: $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$ или $56^\circ, 56^\circ, 68^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Задача состоит из двух пунктов. Первый пункт (внешний угол $54^\circ$) имеет одно решение. Второй пункт (внешний угол $112^\circ$) имеет два решения. Всего задача имеет $1+2=3$ различных набора углов в качестве решения.

Ответ: Задача имеет 3 решения.

433. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $a$, опущены перпендикуляры $AM$ и $BK$ на эту прямую, $AM = BK$.

Докажите, что $AK = BM$.