Номер 435, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 435, страница 118.

435. Биссектрисы углов при основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что угол $AOC$ равен внешнему углу треугольника $ABC$ при вершине $A$.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$, то есть $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

По условию, $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Биссектриса делит угол пополам, поэтому:
$\angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{\alpha}{2}$
$\angle OCA = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{\alpha}{2}$

Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $AOC$ это записывается так:
$\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ$
Подставим в это равенство найденные значения углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$:
$\angle AOC + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$
$\angle AOC + \alpha = 180^\circ$
Отсюда выразим угол $\angle AOC$:
$\angle AOC = 180^\circ - \alpha$

Теперь найдем величину внешнего угла треугольника $ABC$ при вершине $A$. Внешний угол при данной вершине является смежным с внутренним углом при той же вершине. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Внутренний угол при вершине $A$ — это $\angle BAC = \alpha$.
Следовательно, внешний угол при вершине $A$ равен:
Внешний угол при A $= 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - \alpha$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что угол $\angle AOC$ и внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $A$ равны одному и тому же значению $180^\circ - \alpha$.
$\angle AOC = 180^\circ - \alpha$
Внешний угол при A $= 180^\circ - \alpha$
Таким образом, $\angle AOC$ равен внешнему углу треугольника $ABC$ при вершине $A$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

435. На рисунке 265 $AB = BC$, $CD \perp AB$, $AE \perp BC$. Докажите, что $BE = BD$.

Рис. 265