Номер 438, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 438, страница 119.

438. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $BD = BC$, $\angle ACD = 15^\circ$, $\angle DCB = 40^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Найдем угол $C$ треугольника $ABC$. Он равен сумме углов $\angle ACD$ и $\angle DCB$, которые даны в условии:
$\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = 15^\circ + 40^\circ = 55^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По условию, стороны $BD$ и $BC$ равны, следовательно, треугольник $BCD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Это углы $\angle BDC$ (противолежащий стороне $BC$) и $\angle BCD$ (противолежащий стороне $BD$).
Значит, $\angle BDC = \angle BCD$.
Так как по условию $\angle BCD = 40^\circ$, то и $\angle BDC = 40^\circ$.

Зная два угла треугольника $BCD$, мы можем найти третий угол $\angle CBD$. Этот угол является углом $B$ исходного треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle ABC = \angle CBD = 180^\circ - (\angle BCD + \angle BDC) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Наконец, найдем угол $A$ треугольника $ABC$. Мы уже знаем два других его угла: $\angle C = 55^\circ$ и $\angle B = 100^\circ$.
$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (100^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$.

Ответ: $\angle A = 25^\circ$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle C = 55^\circ$.

438. Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.