Номер 444, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 444, страница 119.

444. Угол при основании AC равнобедренного треугольника ABC в 2 раза больше угла при вершине, отрезок AM — биссектриса треугольника.

Докажите, что $BM = AC$.

Дано: $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$, $AC$ — основание.
$\angle BAC = \angle BCA = 2 \cdot \angle ABC$.
$AM$ — биссектриса $\angle BAC$.
Доказать: $BM = AC$.

Доказательство:

1. Найдем углы треугольника $ABC$.
Пусть $\angle ABC = x$. Тогда по условию углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = 2x$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$
$x + 2x + 2x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = 36^\circ$
Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны:
$\angle ABC = 36^\circ$
$\angle BAC = \angle BCA = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

2. Рассмотрим биссектрису $AM$.
Так как $AM$ — биссектриса угла $\angle BAC$, она делит его пополам:
$\angle BAM = \angle CAM = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$

3. Рассмотрим треугольник $ABM$.
В этом треугольнике мы знаем два угла:
$\angle ABM = \angle ABC = 36^\circ$
$\angle BAM = 36^\circ$
Поскольку углы при стороне $AB$ равны ($\angle ABM = \angle BAM$), треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $BM = AM$.

4. Рассмотрим треугольник $AMC$.
В этом треугольнике мы знаем два угла:
$\angle CAM = 36^\circ$
$\angle ACM = \angle BCA = 72^\circ$
Найдем третий угол $\angle AMC$:
$\angle AMC = 180^\circ - (\angle CAM + \angle ACM) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$
Поскольку углы при стороне $MC$ равны ($\angle ACM = \angle AMC = 72^\circ$), треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $MC$. Следовательно, стороны, противолежащие равным углам, равны: $AC = AM$.

5. Сведем полученные результаты.
Из пункта 3 мы получили, что $BM = AM$.
Из пункта 4 мы получили, что $AC = AM$.
Так как обе величины, $BM$ и $AC$, равны одной и той же величине $AM$, то они равны между собой: $BM = AC$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BM = AC$ доказано.

444. Докажите, что в равных треугольниках высоты, опущенные на соответственно равные стороны, равны.