Номер 450, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 450, страница 119.

450. Существует ли треугольник, в котором одна биссектриса делит пополам другую биссектрису?

Предположим, что такой треугольник $ABC$ существует. Пусть длины его сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, равны $a, b, c$ соответственно. Пусть $AA_1$ — биссектриса угла $A$ (точка $A_1$ лежит на стороне $BC$), а $BB_1$ — биссектриса угла $B$ (точка $B_1$ лежит на стороне $AC$).

Допустим, биссектриса $AA_1$ делит биссектрису $BB_1$ пополам. Обозначим точку их пересечения через $O$. По условию, точка $O$ является серединой отрезка $BB_1$, то есть $BO = OB_1$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $B_1AB$ (так как $AA_1$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$). По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применительно к треугольнику $ABB_1$ и биссектрисе $AO$ это свойство записывается так:

$$ \frac{AB}{AB_1} = \frac{BO}{OB_1} $$

По нашему предположению, $BO = OB_1$, следовательно, отношение $\frac{BO}{OB_1} = 1$. Подставив это в формулу, получаем:

$$ \frac{AB}{AB_1} = 1 \implies AB = AB_1 $$

Теперь рассмотрим исходный треугольник $ABC$ и его биссектрису $BB_1$. По свойству биссектрисы, она делит сторону $AC$ в отношении, равном отношению двух других сторон:

$$ \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{BC} $$

Используя обозначения длин сторон ($AB=c$, $BC=a$), получим:

$$ \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{c}{a} $$

Из ранее полученного равенства $AB = AB_1$ следует, что $AB_1 = c$. Подставим это значение в пропорцию:

$$ \frac{c}{B_1C} = \frac{c}{a} $$

Так как $c$ — длина стороны треугольника, $c \ne 0$. Мы можем сократить на $c$, что дает $B_1C = a$.

Точка $B_1$ лежит на стороне $AC$. Длина стороны $AC$ равна сумме длин ее частей $AB_1$ и $B_1C$. В наших обозначениях это $AC = b$. Таким образом, мы приходим к равенству:

$$ AC = AB_1 + B_1C \implies b = c + a $$

Теперь необходимо проверить, может ли существовать треугольник со сторонами $a, b, c$, которые удовлетворяют этому условию. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. В частности, для сторон $a, c$ и $b$ должно выполняться неравенство:

$$ a + c > b $$

Полученное нами условие $a + c = b$ противоречит этому фундаментальному свойству треугольника. Равенство $a + c = b$ выполняется только для вырожденного треугольника, у которого все три вершины лежат на одной прямой. Такой объект не является треугольником в общепринятом смысле.

Таким образом, наше начальное предположение было неверным.

Аналогичные рассуждения для случая, когда биссектриса $BB_1$ делит пополам биссектрису $AA_1$, приводят к условию $a = b + c$, что также противоречит неравенству треугольника $b+c > a$.

Ответ: Нет, такой треугольник не существует.

450. Высоты $ME$ и $NF$ треугольника $MKN$ пересекаются в точке $O$, $OM = ON$, $MF = KE$. Докажите, что треугольник $MKN$ – равносторонний.