Номер 453, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 453, страница 120.

453. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки E и F так, что $AC = AF = EF = BE$.

Найдите углы треугольника ABC.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$. Точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. По условию задачи, $AC = AF = EF = BE$.

Обозначим углы треугольника $ABC$ следующим образом: пусть $\angle ABC = x$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - x)/2 = 90^\circ - x/2$.

Теперь последовательно рассмотрим несколько треугольников, равнобедренных по условию.

1. Рассмотрим треугольник $AFC$.

По условию $AC = AF$, значит, треугольник $AFC$ — равнобедренный с основанием $FC$. Углы при основании равны: $\angle AFC = \angle ACF$.

Угол $\angle ACF$ совпадает с углом $\angle BCA$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle ACF = 90^\circ - x/2$.

Следовательно, $\angle AFC = 90^\circ - x/2$.

Сумма углов в треугольнике $AFC$ равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $\angle FAC$ равен:

$\angle FAC = 180^\circ - (\angle AFC + \angle ACF) = 180^\circ - 2 \cdot (90^\circ - x/2) = 180^\circ - 180^\circ + x = x$.

2. Рассмотрим треугольник $BEF$.

По условию $BE = EF$, значит, треугольник $BEF$ — равнобедренный. Равные стороны — $BE$ и $EF$. Основанием является сторона $BF$. Углы при основании равны: $\angle EBF = \angle EFB$.

Угол $\angle EBF$ совпадает с углом $\angle ABC$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle EBF = x$.

Следовательно, $\angle EFB = x$.

Угол при вершине $\angle BEF$ (угол между равными сторонами) равен:

$\angle BEF = 180^\circ - (\angle EBF + \angle EFB) = 180^\circ - (x + x) = 180^\circ - 2x$.

3. Рассмотрим треугольник $AFE$.

По условию $AF = EF$, значит, треугольник $AFE$ — равнобедренный с основанием $AE$. Углы при основании равны: $\angle FAE = \angle FEA$.

Угол $\angle FAE$ является частью угла $\angle BAC$. Мы можем найти его как разность углов $\angle BAC$ и $\angle FAC$:

$\angle FAE = \angle BAC - \angle FAC = (90^\circ - x/2) - x = 90^\circ - 3x/2$.

Следовательно, $\angle FEA = 90^\circ - 3x/2$.

Угол при вершине $\angle AFE$ равен:

$\angle AFE = 180^\circ - 2 \cdot \angle FAE = 180^\circ - 2 \cdot (90^\circ - 3x/2) = 180^\circ - 180^\circ + 3x = 3x$.

4. Составим уравнение.

Точки $B, F, C$ лежат на одной прямой. Углы $\angle AFC$ и $\angle AFB$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle AFB = 180^\circ - \angle AFC = 180^\circ - (90^\circ - x/2) = 90^\circ + x/2$.

С другой стороны, угол $\angle AFB$ состоит из двух углов: $\angle AFE$ и $\angle EFB$.

$\angle AFB = \angle AFE + \angle EFB$.

Подставим в это равенство найденные нами выражения для углов:

$90^\circ + x/2 = 3x + x$.

5. Решим уравнение.

$90^\circ + x/2 = 4x$

$90^\circ = 4x - x/2$

$90^\circ = \frac{8x - x}{2}$

$90^\circ = \frac{7x}{2}$

$180^\circ = 7x$

$x = \frac{180^\circ}{7}$

6. Найдем углы треугольника $ABC$.

Мы нашли угол при вершине $B$:

$\angle ABC = x = \frac{180^\circ}{7}$.

Теперь найдем углы при основании $A$ и $C$:

$\angle BAC = \angle BCA = 90^\circ - x/2 = 90^\circ - \frac{1}{2} \cdot \frac{180^\circ}{7} = 90^\circ - \frac{90^\circ}{7} = \frac{630^\circ - 90^\circ}{7} = \frac{540^\circ}{7}$.

Проверка: Сумма углов $\frac{180^\circ}{7} + 2 \cdot \frac{540^\circ}{7} = \frac{180^\circ + 1080^\circ}{7} = \frac{1260^\circ}{7} = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $\angle A = \frac{540^\circ}{7}$, $\angle B = \frac{180^\circ}{7}$, $\angle C = \frac{540^\circ}{7}$.

453. Углы $ABC$ и $DBC$ – смежные, луч $BM$ принадлежит углу $ABC$, луч $BK$ – углу $DBC$, $\angle MBC = \angle CBK = 30^\circ$, угол $DBK$ в 5 раз больше угла $ABM$. Найдите углы $ABC$ и $DBC$.