Номер 1, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 1, страница 123.

1. Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.

Теорема о неравенстве треугольника утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. Это необходимое и достаточное условие для существования треугольника с заданными длинами сторон.

Математически для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ это выражается системой из трех неравенств, которые должны выполняться одновременно:
$a < b + c$
$b < a + c$
$c < a + b$

На практике достаточно проверить, что самая длинная сторона меньше суммы двух других. Например, отрезки длиной 5 см, 7 см и 10 см могут образовать треугольник, так как $10 < 5+7$. А отрезки длиной 4 см, 5 см и 10 см — не могут, так как $10 > 4+5$.

Следствием из этой теоремы является то, что любая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон:
$a > |b - c|$
$b > |a - c|$
$c > |a - b|$
Эти два утверждения эквивалентны.

Ответ: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Для всякого треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ верны неравенства: $a < b + c$, $b < a + c$, $c < a + b$.