Номер 462, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 462, страница 123.

462. Периметр треугольника равен $30 \text{ см}$. Может ли одна из его сторон быть равной:

1) $20 \text{ см}$?

2) $15 \text{ см}$?

Для решения этой задачи используется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Пусть стороны треугольника — $a$, $b$ и $c$. Тогда должны выполняться следующие условия:

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Из этого правила следует важное следствие: любая сторона треугольника должна быть меньше половины его периметра. Периметр $P = a + b + c$. Так как $b + c > a$, то, прибавив $a$ к обеим частям, получим $a + b + c > 2a$, или $P > 2a$, откуда $a < P/2$.

В данной задаче периметр $P = 30$ см. Следовательно, любая сторона этого треугольника должна быть строго меньше $30 / 2 = 15$ см.

Теперь рассмотрим предложенные варианты.

1)

Может ли одна из сторон быть равной 20 см? Согласно выведенному правилу, любая сторона должна быть меньше 15 см. Так как $20 \text{ см} > 15 \text{ см}$, то сторона треугольника не может быть равна 20 см.

Если проверить это с помощью основного неравенства треугольника: пусть одна сторона равна 20 см. Тогда сумма двух других сторон равна $30 - 20 = 10$ см. Сумма двух сторон (10 см) оказывается меньше третьей стороны (20 см), что нарушает неравенство треугольника. Следовательно, такой треугольник не существует.

Ответ: нет, не может.

2)

Может ли одна из сторон быть равной 15 см? Согласно правилу, любая сторона должна быть строго меньше 15 см. Сторона длиной 15 см не удовлетворяет этому условию ($15 \not< 15$).

Если проверить с помощью основного неравенства: пусть одна сторона равна 15 см. Тогда сумма двух других сторон также равна $30 - 15 = 15$ см. В этом случае сумма двух сторон не больше третьей стороны, а равна ей. Это нарушает строгое неравенство треугольника. Такой случай соответствует вырожденному треугольнику, у которого все вершины лежат на одной прямой, а не полноценному треугольнику.

Ответ: нет, не может.

462. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $CK$ – высота, $AC = 10$ см. Найдите отрезок $BK$.