Номер 469, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 469, страница 124.

469. Существует ли треугольник, одна из сторон которого на 1 см меньше второй и на 3 см меньше третьей, а периметр равен 22 см?

Для ответа на этот вопрос необходимо сначала найти возможные длины сторон треугольника, исходя из данных условия, а затем проверить, может ли существовать треугольник с такими сторонами, используя неравенство треугольника.

Пусть $a$, $b$ и $c$ – длины сторон искомого треугольника. Обозначим длину одной из сторон (назовем ее первой) за $x$ см.

Из условия задачи следует, что эта сторона на 1 см меньше второй и на 3 см меньше третьей. Выразим длины второй и третьей сторон через $x$:

• Длина первой стороны: $a = x$ см.
• Длина второй стороны: $b = (x + 1)$ см.
• Длина третьей стороны: $c = (x + 3)$ см.

Периметр треугольника $P$ – это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 22 см. Составим уравнение:

$a + b + c = P$

$x + (x + 1) + (x + 3) = 22$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$3x + 4 = 22$

$3x = 22 - 4$

$3x = 18$

$x = \frac{18}{3}$

$x = 6$

Мы нашли длину первой стороны. Теперь найдем длины двух других сторон:

• Первая сторона: $a = 6$ см.
• Вторая сторона: $b = 6 + 1 = 7$ см.
• Третья сторона: $c = 6 + 3 = 9$ см.

Итак, мы получили гипотетический треугольник со сторонами 6 см, 7 см и 9 см.

Теперь необходимо проверить, выполняется ли для этих сторон неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Проверим все три комбинации:

1. $a + b > c \Rightarrow 6 + 7 > 9 \Rightarrow 13 > 9$. (Верно)
2. $a + c > b \Rightarrow 6 + 9 > 7 \Rightarrow 15 > 7$. (Верно)
3. $b + c > a \Rightarrow 7 + 9 > 6 \Rightarrow 16 > 6$. (Верно)

Все условия неравенства треугольника выполняются. Это означает, что треугольник с такими сторонами может существовать.

Ответ: да, такой треугольник существует. Его стороны равны 6 см, 7 см и 9 см.

469. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Серединный перпендикуляр отрезка $AB$ пересекает его в точке $M$, а отрезок $BC$ – в точке $K$. Докажите, что $MK = \frac{1}{3}BC$.