Номер 472, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 472, страница 124.

472. Три точки $A$, $B$ и $C$ таковы, что выполняется равенство $AB = AC + CB$. Докажите, что точка $C$ является внутренней точкой отрезка $AB$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что точка C не является внутренней точкой отрезка AB. Это может означать одно из двух:

1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой.
2. Точки A, B и C лежат на одной прямой, но C не находится между A и B.

Рассмотрим оба этих случая.

1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Если точки A, B и C не лежат на одной прямой, то они являются вершинами треугольника ABC. Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника строго меньше суммы длин двух других его сторон. Применительно к стороне AB это неравенство записывается как:

$AB < AC + CB$

Однако по условию задачи нам дано равенство $AB = AC + CB$. Это прямо противоречит неравенству треугольника. Следовательно, наше предположение о том, что точки A, B и C не лежат на одной прямой, является неверным. Значит, точки A, B и C обязательно лежат на одной прямой.

2. Точки A, B и C лежат на одной прямой, но C не находится между A и B.

Раз точки лежат на одной прямой, рассмотрим возможные варианты их взаимного расположения, кроме того, когда C находится между A и B:

• Точка A лежит между C и B. В этом случае, по свойству измерения отрезков на прямой, длина отрезка CB равна сумме длин отрезков CA и AB: $CB = CA + AB$. Отсюда $AB = CB - CA$. Так как по условию $AB = AC + CB$ и $AC = CA$, мы можем приравнять два выражения для AB:
  $CB - AC = AC + CB$
  Вычитая $CB$ из обеих частей, получаем:
  $-AC = AC$
  $2 \cdot AC = 0$
  Это равенство верно только если $AC = 0$, то есть точки A и C совпадают.
• Точка B лежит между A и C. В этом случае, по свойству измерения отрезков, $AC = AB + BC$. Отсюда $AB = AC - BC$. Сравнивая это с условием $AB = AC + CB$ (где $BC = CB$), получаем:
  $AC - BC = AC + BC$
  Вычитая $AC$ из обеих частей, получаем:
  $-BC = BC$
  $2 \cdot BC = 0$
  Это равенство верно только если $BC = 0$, то есть точки B и C совпадают.

Таким образом, мы показали, что если точка C не находится строго между A и B, то она должна совпадать либо с точкой A, либо с точкой B (при условии, что A и B — различные точки). В этих случаях точка C является концом отрезка AB, а не его внутренней точкой.

Если же предположить, что A, B, C — это три различные точки, то случаи $AC = 0$ и $BC = 0$ невозможны. Единственный вариант, который не приводит к противоречию и согласуется с условием $AB = AC + CB$, — это когда точки лежат на одной прямой и именно точка C находится между точками A и B. По определению, это и означает, что точка C является внутренней точкой отрезка AB.

Ответ: Доказательство строится на рассмотрении всех возможных расположений точек. С помощью неравенства треугольника доказывается, что точки A, B, C должны лежать на одной прямой. Затем, анализируя возможные порядки точек на прямой, приходим к выводу, что равенство $AB = AC + CB$ выполняется только тогда, когда точка C находится между точками A и B (или совпадает с одной из них). Следовательно, C является точкой отрезка AB, а если A, B, C - различные точки, то C - внутренняя точка отрезка AB.

472. На рисунке 271 $AB = BC$, $AM = KC$, $\angle AKE = \angle FMC$. Докажите, что треугольник $FBE$ – равнобедренный.

Рис. 271