Номер 468, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 468, страница 124.

468. Существует ли треугольник, одна из сторон которого на 2 см меньше второй и на 6 см меньше третьей, а периметр равен 20 см?

Для решения этой задачи обозначим длины сторон треугольника переменной, составим уравнение на основе периметра, найдем длины сторон и проверим, выполняется ли для них неравенство треугольника.

Пусть $x$ см — длина первой, наименьшей, стороны треугольника.Согласно условию, эта сторона на 2 см меньше второй, значит, вторая сторона равна $(x + 2)$ см.Также эта сторона на 6 см меньше третьей, значит, третья сторона равна $(x + 6)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 20 см. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 2) + (x + 6) = 20$

$3x + 8 = 20$

$3x = 20 - 8$

$3x = 12$

$x = 4$

Таким образом, мы нашли длины сторон предполагаемого треугольника:

Первая сторона: $x = 4$ см.

Вторая сторона: $x + 2 = 4 + 2 = 6$ см.

Третья сторона: $x + 6 = 4 + 6 = 10$ см.

Теперь необходимо проверить, может ли существовать треугольник с такими сторонами. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Достаточно проверить выполнение этого условия для суммы двух меньших сторон и большей стороны:

$4 + 6 > 10$

$10 > 10$

Полученное неравенство является неверным, так как 10 не больше 10, а равно 10. Поскольку условие неравенства треугольника не выполняется, треугольник с такими сторонами существовать не может. В этом случае все три вершины лежали бы на одной прямой (такой треугольник называют вырожденным).

Ответ: нет, такой треугольник не существует.

468. Биссектрисы $AM$ и $BK$ равностороннего треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $AO : OM = 2 : 1$.