Номер 471, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 471, страница 124.

471. В треугольнике $ABC$ $\angle C > 90^{\circ}$. На стороне $BC$ отметили произвольную точку $D$. Докажите, что $AD > AC$.

Рассмотрим треугольник $ADC$, образованный вершинами $A$, $C$ и точкой $D$ на стороне $BC$.

По условию задачи, угол $C$ в треугольнике $ABC$ тупой, то есть $\angle C > 90^\circ$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $BC$, угол $\angle ACD$ в треугольнике $ADC$ совпадает с углом $\angle C$. Таким образом, $\angle ACD > 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ADC$ имеем: $\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$.

Так как один из углов треугольника $ADC$ (а именно, $\angle ACD$) больше $90^\circ$, он является тупым. В треугольнике может быть только один тупой или прямой угол, поэтому остальные два угла, $\angle CAD$ и $\angle ADC$, должны быть острыми. В частности, это означает, что $\angle ADC < 90^\circ$.

Теперь сравним два угла в треугольнике $ADC$: $\angle ACD$ и $\angle ADC$. Мы установили, что $\angle ACD > 90^\circ$ и $\angle ADC < 90^\circ$. Отсюда следует, что $\angle ACD > \angle ADC$.

Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ADC$ сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle ACD$, а сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle ADC$.

Так как $\angle ACD > \angle ADC$, то и соответствующая противолежащая сторона $AD$ больше стороны $AC$. Таким образом, $AD > AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике $ADC$ угол $\angle ACD$ тупой, а значит, он больше острого угла $\angle ADC$. Следовательно, сторона $AD$, лежащая против большего угла $\angle ACD$, длиннее стороны $AC$, лежащей против меньшего угла $\angle ADC$.

471. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, отрезок $AD$ – биссектриса, отрезок $CD$ на 3 см меньше отрезка $BD$. Найдите биссектрису $AD$.