Номер 473, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

473. На прямой $m$ (рис. 295) найдите такую точку $C$, чтобы сумма расстояний от неё до точек $A$ и $B$ была наименьшей. Ответ обоснуйте.

Рис. 295

Чтобы найти на прямой m точку C, для которой сумма расстояний $AC + BC$ будет наименьшей, необходимо выполнить следующее построение: отразить одну из точек (например, A) симметрично относительно прямой m. Получим точку A'. Затем нужно соединить точку A' с точкой B. Точка пересечения отрезка A'B с прямой m и будет искомой точкой C.

Обоснование:

По определению осевой симметрии, прямая m является серединным перпендикуляром к отрезку AA'. Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов. Следовательно, для любой точки C, принадлежащей прямой m, будет выполняться равенство $AC = A'C$.

Таким образом, задачу минимизации суммы $AC + BC$ можно свести к задаче минимизации суммы $A'C + BC$.

Точки A' и B лежат по разные стороны от прямой m. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Сумма длин $A'C + BC$ будет наименьшей, если точки A', C и B будут лежать на одной прямой, то есть $A'C + BC = A'B$. Это возможно только в том случае, если точка C является точкой пересечения отрезка A'B и прямой m.

Для любой другой точки C' на прямой m (не совпадающей с C), точки A', C' и B образуют треугольник A'C'B. По неравенству треугольника, $A'C' + C'B > A'B$. Заменяя $A'C'$ на $AC'$ (так как $AC' = A'C'$) и $A'B$ на $AC + BC$ (так как $A'B = A'C + CB = AC + CB$), получаем $AC' + C'B > AC + BC$.

Это доказывает, что построенная точка C является единственной точкой на прямой m, для которой сумма расстояний до точек A и B минимальна.

Ответ: Искомая точка C — это точка пересечения прямой m с отрезком, соединяющим одну из данных точек (например, B) с точкой, симметричной другой данной точке (A) относительно прямой m.

473. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $ACB$ и пересекающие прямые $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AC > BC$, $CM = 6$ см, $BK = 2$ см, $AB = 7$ см.