Номер 477, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 477, страница 124.

477. Градусные меры смежных углов $ABC$ и $CBD$ относятся как 5 : 4. Найдите угол между биссектрисами углов $ABC$ и $ABD$. Сколько решений имеет задача?

Найдите угол между биссектрисами углов ABC и ABD

1. По условию, углы $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Также известно, что их градусные меры относятся как $5:4$. Обозначим одну часть отношения за $x$. Тогда $ \angle ABC = 5x $, а $ \angle CBD = 4x $.

Составим и решим уравнение: $ 5x + 4x = 180^\circ $ $ 9x = 180^\circ $ $ x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ $

Таким образом, градусные меры углов равны: $ \angle ABC = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ $ $ \angle CBD = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ $

2. Так как $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $ — смежные, их внешние стороны $BA$ и $BD$ являются дополнительными лучами и образуют прямую. Угол $ \angle ABD $ является развернутым, и его мера составляет $ \angle ABD = 100^\circ + 80^\circ = 180^\circ $.

3. Найдем биссектрисы указанных углов. Пусть $BM$ — биссектриса угла $ \angle ABC $. Биссектриса делит угол пополам, поэтому угол между лучом $BA$ и биссектрисой $BM$ равен: $ \angle ABM = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ $

Пусть $BN$ — биссектриса развернутого угла $ \angle ABD $. Она делит его на два прямых угла, поэтому угол между лучом $BA$ и биссектрисой $BN$ равен: $ \angle ABN = \frac{\angle ABD}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $

4. У развернутого угла биссектрисой является луч, перпендикулярный прямой, на которой лежит этот угол. Таких лучей два — они направлены в разные полуплоскости относительно этой прямой. Это приводит к двум возможным случаям расположения биссектрис.

Случай 1: Биссектриса $BN$ расположена в той же полуплоскости относительно прямой $AD$, что и луч $BC$ (а значит, и биссектриса $BM$). В этом случае искомый угол между биссектрисами $BM$ и $BN$ равен разности углов, которые они образуют с лучом $BA$: $ \text{Угол}_1 = \angle ABN - \angle ABM = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ $

Случай 2: Биссектриса $BN$ расположена в противоположной полуплоскости относительно прямой $AD$ от биссектрисы $BM$. В этом случае угол между биссектрисами будет равен сумме углов, которые они образуют с лучом $BA$ по разные стороны от него: $ \text{Угол}_2 = \angle ABM + \angle ABN = 50^\circ + 90^\circ = 140^\circ $

Ответ: угол между биссектрисами может быть равен $40^\circ$ или $140^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Как было показано при нахождении угла, неоднозначность в решении возникает из-за того, что у развернутого угла $ \angle ABD $ существуют две биссектрисы. Это два луча, перпендикулярные прямой $AD$ и исходящие из точки $B$ в разные полуплоскости. В зависимости от выбора, какой из этих двух лучей считать биссектрисой $BN$, получается два разных, но одинаково правильных ответа для величины искомого угла.

Ответ: задача имеет два решения.

477. Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка $AB$ на 2 см. Сколько существует таких точек?