Номер 5, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 5, страница 127.

5. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу формулируется следующим образом: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Этот признак является следствием второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Приведем подробное доказательство.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых прямые углы – это $\angle C$ и $\angle C_1$ соответственно.

Пусть по условию катет $AC$ равен катету $A_1C_1$, а прилежащий к нему острый угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$.
Дано:

• $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$)
• $AC = A_1C_1$ (равные катеты)
• $\angle A = \angle A_1$ (равные прилежащие острые углы)

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Согласно этому признаку, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае мы имеем сторону $AC$ в $\triangle ABC$ и сторону $A_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. По условию, $AC = A_1C_1$.

Углы, прилежащие к стороне $AC$, это $\angle A$ и $\angle C$.
Углы, прилежащие к стороне $A_1C_1$, это $\angle A_1$ и $\angle C_1$.

Сравним эти углы:

1. $\angle A = \angle A_1$ (по условию).
2. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (так как по определению это прямые углы в прямоугольных треугольниках).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AC$, $\angle A$, $\angle C$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($A_1C_1$, $\angle A_1$, $\angle C_1$).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие прямоугольные треугольники равны.

5. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.