Номер 4, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 4, страница 127.

4. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам формулируется следующим образом:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $△ABC$ и $△A₁B₁C₁$. Пусть углы $∠C$ и $∠C₁$ в этих треугольниках прямые, то есть $∠C = ∠C₁ = 90°$. Стороны $AC$ и $BC$ — это катеты треугольника $△ABC$, а стороны $A₁C₁$ и $B₁C₁$ — катеты треугольника $△A₁B₁C₁$.

По условию теоремы, катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого:

$AC = A₁C₁$

$BC = B₁C₁$

Нам нужно доказать, что $△ABC = △A₁B₁C₁$.

Этот признак является частным случаем первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Этот признак гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае:

1. Сторона $AC$ треугольника $△ABC$ равна стороне $A₁C₁$ треугольника $△A₁B₁C₁$ (по условию).

2. Сторона $BC$ треугольника $△ABC$ равна стороне $B₁C₁$ треугольника $△A₁B₁C₁$ (по условию).

3. Угол $∠C$, заключенный между сторонами $AC$ и $BC$, равен углу $∠C₁$, заключенному между сторонами $A₁C₁$ и $B₁C₁$, так как оба угла прямые: $∠C = ∠C₁ = 90°$.

Таким образом, все условия первого признака равенства треугольников выполнены. Следовательно, треугольник $△ABC$ равен треугольнику $△A₁B₁C₁$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

4. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.