Номер 6, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 6, страница 127.

6. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу формулируется следующим образом:

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим доказательство этого признака.

Пусть нам даны два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом $\angle C$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $\angle C_1$.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – прямоугольные ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$).
2. Катет $AC$ равен катету $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).
3. Острый угол $\angle B$, противолежащий катету $AC$, равен острому углу $\angle B_1$, противолежащему катету $A_1C_1$ ($\angle B = \angle B_1$).

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
Для треугольника $\triangle ABC$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Отсюда $\angle A = 90^\circ - \angle B$.
Для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ справедливо равенство: $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$. Отсюда $\angle A_1 = 90^\circ - \angle B_1$.
Так как по условию $\angle B = \angle B_1$, то и правые части выражений для $\angle A$ и $\angle A_1$ равны. Следовательно, $\angle A = \angle A_1$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

• $AC = A_1C_1$ (по условию).
• $\angle A = \angle A_1$ (по доказанному выше).
• $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (по условию).

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.

6. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.